届高三理科数学一轮复习教师讲义全套打包下载第1章集合与常用逻辑用语Word格式文档下载.docx

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2．集合间的基本关系

表示

关系　　

文字语言

符号语言

记法

基本关系

子集

集合A的元素都是集合B的元素

x∈A⇒x∈B

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A

A⊆B，且存在x0∈B，x0∉A

AB或BA

相等

集合A，B的元素完全相同

A⊆B，B⊆A

A＝B

空集

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集

任意的x，x∉∅，∅⊆A

∅

3．集合的基本运算

运算　

图形语言

交集

属于集合A属于集合B的元素组成的集合

{x|x∈A，且x∈B}

A∩B

并集

{x|x∈A，或x∈B}

A∪B

补集

全集U中属于集合A的元素组成的集合

{x|x∈U，且x∉A}

∁UA

4．集合问题中的几个基本结论

（1）集合A是其本身的子集，即A⊆A；

（2）子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；

（3）A∪A＝A∩A＝，A∪∅＝，A∩∅＝，∁UU＝，∁U∅＝.

（4）A∩B＝A⇒A⊆B，A∪B＝B⇒A⊆B.

[小题体验]

1．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

答案：

D

2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．

5

3．（2018·

江苏高考）已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.

解析：

A∩B＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}．

{1,8}

1．认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．

2．解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；

二是集合与集合的包含关系．

3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

[小题纠偏]

1．（2019·

浙江名校联考）已知∁RM＝{x|ln|x|＞1}，N＝，则M∪N＝（　　）

A．（0，e]　　　　　　　　　B．[－e，＋∞）

C．（－∞，－e]∪（0，＋∞）D．[－e，e]

选B　由ln|x|＞1得|x|＞e，∴M＝[－e，e]．N＝（0，＋∞），∴M∪N＝[－e，＋∞）．故选B.

2．若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，则由m的可能取值组成的集合为________．

当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅，满足B⊆A；

若B≠∅，且满足B⊆A，如图所示，

则即所以2≤m≤3.故m＜2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．

{m|m≤3}

3．已知集合A＝{0,x＋1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．

∵－4∈A，∴x＋1＝－4或x2－5x＝－4.

∴x＝－5或x＝1或x＝4.

若x＝1，则A＝{0,2，－4}，满足条件；

若x＝4，则A＝{0,5，－4}，满足条件；

若x＝－5，则A＝{0，－4,50}，满足条件．

所以x＝1或x＝4或－5.

1或4或－5

[题组练透]

1．下列命题正确的有（　　）

①很小的实数可以构成集合；

②（易错题）集合与集合{（x，y）|y＝x2－1}是同一个集合；

③1，，，，0.5这些数组成的集合有5个元素；

④集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．

A．0个　　　　　　　　　B．1个

C．2个D．3个

选A　由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；

②两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；

③中＝0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；

④不仅仅表示的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误．综上，没有正确命题，故选A.

2．已知a＞0，b∈R，若＝{a－b,0，a2}，则a2＋b2的值为（　　）

A．2B．4

C．6D．8

选B　由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝4，即a＝2或a＝－2，因为a＞0，所以a＝2，故a2＋b2＝22＋02＝4.

3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于（　　）

A.B.

C．0D．0或

选D　若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝，符合题意．

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝，

所以a的值为0或.

4．（易错题）（2019·

江西重点中学协作体联考）设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，M＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为________．

结合题意列表计算M中所有可能的值如下：

b

a　

2

3

4

1

6

8

9

12

观察可得：

M＝{2,3,4,6,8,9,12}，据此可知M中的元素个数为7.

7

[谨记通法]

与集合中的元素有关问题的求解策略

（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

[典例引领]

1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集有（　　）

A．8个　　　　　　　　　B．4个

C．3个D．2个

选B　由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．

2．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则a＝（　　）

A．－或1B．2或－1

C．－2或1或0D．－或1或0

选D　集合A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2,1}．当x＝－2时，－2a＝1，解得a＝－；

当x＝1时，a＝1；

又因为B是空集时也符合题意，这时a＝0，故选D.

[由题悟法]

集合间基本关系的两种判定方法和一个关键

[即时应用]

1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的个数为（　　）

A．32B．31

C．30D．29

选B　因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个．

2．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m＜x＜m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．

当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.

当m＞0时，

∵A＝{x|－1＜x＜3}．

当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，

∴∴0＜m≤1.

综上所述m的取值范围为（－∞，1]．

（－∞，1]

[锁定考向]

集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；

有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．

常见的命题角度有：

（1）集合的运算；

（2）利用集合运算求参数；

（3）新定义集合问题．　　　　

[题点全练]

角度一：

集合的运算

1．（2018·

北京高考）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝（　　）

A．{0,1}B．{－1,0,1}

C．{－2,0,1,2}D．{－1,0,1,2}

选A　∵A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，

B＝{－2,0,1,2}，

∴A∩B＝{0,1}．故选A.

2．（2018·

全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝（　　）

A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

选B　∵x2－x－2＞0，∴（x－2）（x＋1）＞0，

∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}．

则∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.

角度二：

利用集合运算求参数

3．（2019·

浙江联盟校联考）已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，若P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，则实数a的值为（　　）

A．1B．2

C．D．

选B　因为P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，所以当a≤1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜1}，不符合题意；

当a＞1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜a}，结合P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，可得a＝2.

角度三：

新定义集合问题

4．如果集合A，B，同时满足A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，就称有序集对（A，B）为“好集对”．这里有序集对（A，B）是指当A≠B时，（A，B）和（B，A）是不同的集对，那么“好集对”一共有（　　）个（　　）

A．5个B．6个

C．7个D．8个

选B　因为A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，所以当A＝{1,2}时，B＝{1,3,4}；

当A＝{1,3}时，B＝{1,2,4}；

当A＝{1,4}时，B＝{1,2,3}；

当A＝{1,2,3}时，B＝{1,4}；

当A＝{1,2,4}时，B＝{1,3}；

当A＝{1,3,4}时，B＝{1,2}．所以满足条件的“好集对”一共有6个，故选B.

[通法在握]

解集合运算问题4个技巧

看元素构成

集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键

对集合化简

有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决

应用数形

常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图

创新性问题

以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决

[演练冲关]

浙江十校联盟适考）已知集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x∈Z|x2－6x＜0}，则（∁RA）∩B＝（　　）

A．{1,4}B．{4,5}

C．{1,4,5}D．{2,3}

选C　法一：

由x2－6x＜0可得0＜x＜6，所以B＝{1,2,3,4,5}，又∁RA＝{x|x≤1或x≥4}，所以（∁RA）∩B＝{1,4,5}．

法二：

因为求的是（∁RA）∩B，故排除D，又1,5∈∁RA,1，5∈B，故选C.

2．（2019·

长沙模拟）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（　　）

A．1B．2

C．3D．1或2

选B　当a＝1时，x2－3x＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅；

当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；

当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.因此实数a＝2.

杭州高三四校联考）设集合A＝{x|（x－3）（x－a）＝0，a∈R}，B＝