高中数学 第一章 导数及其应用 11 变化率与导数 13 导数的几何意义教学案 新人教A版选修22Word文件下载.docx

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（2）直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．（　　）

（3）函数f（x）＝0没有导函数．（　　）

答案：

（1）×

（2）×

　（3）×

2．设f′（x0）＝0，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线（　　）

A．不存在　　　　　　　B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直D．与x轴斜交

B

3．已知曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′

（1）＝（　　）

A．4　　B．－4　　　

C．－2　　　D．2

D

4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．

y轴　x轴

求曲线的切线方程

[典例]　已知曲线C：

y＝x3＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．

[解]　将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，

∴切点P（2,4）．

y′|x＝2＝＝

＝[4＋2·

Δx＋（Δx）2]＝4.

∴k＝y′|x＝2＝4.

∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y－4＝4（x－2），

即4x－y－4＝0.

1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤

2．求过曲线y＝f（x）外一点P（x1，y1）的切线方程的六个步骤

（1）设切点（x0，f（x0））．

（2）利用所设切点求斜率k＝f′（x0）＝li.

（3）用（x0，f（x0）），P（x1，y1）表示斜率．

（4）根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.

（5）根据点斜式写出切线方程．

（6）将切线方程化为一般式．　　　　　　

[活学活用]

过点（1，－1）且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为（　　）

A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0

B．x－y－2＝0

C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0

D．x－y＋2＝0

解析：

选A　显然点（1，－1）在曲线y＝x3－2x上，

若切点为（1，－1），则由f′

（1）＝li

＝

＝[（Δx）2＋3Δx＋1]＝1，

∴切线方程为y－（－1）＝1×

（x－1），即x－y－2＝0.

若切点不是（1，－1），设切点为（x0，y0），

则k＝＝＝

＝x＋x0－1，

又由导数的几何意义知

k＝f′（x0）＝

＝＝3x－2，

∴x＋x0－1＝3x－2，∴2x－x0－1＝0，

∵x0≠1，∴x0＝－.

∴k＝x＋x0－1＝－，

∴切线方程为y－（－1）＝－（x－1），

即5x＋4y－1＝0，故选A.

求切点坐标

[典例]　已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．

（1）切线的倾斜角为45°

.

（2）切线平行于直线4x－y－2＝0.

（3）切线垂直于直线x＋8y－3＝0.

[解]　设切点坐标为（x0，y0），则

Δy＝2（x0＋Δx）2＋1－2x－1＝4x0·

Δx＋2（Δx）2，

∴＝4x0＋2Δx，

当Δx→0时，→4x0，即f′（x0）＝4x0.

（1）∵抛物线的切线的倾斜角为45°

，

∴斜率为tan45°

＝1.

即f′（x0）＝4x0＝1，得x0＝，

∴切点的坐标为.

（2）∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，

∴k＝4，即f′（x0）＝4x0＝4，得x0＝1，

∴切点坐标为（1,3）．

（3）∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

则k·

＝－1，即k＝8，

故f′（x0）＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为（2,9）．

求切点坐标可以按以下步骤进行

（1）设出切点坐标；

（2）利用导数或斜率公式求出斜率；

（3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；

（4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．　　　　　　

直线l：

y＝x＋a（a≠0）和曲线C：

y＝x3－x2＋1相切，则a的值为___________，切点坐标为____________．

设直线l与曲线C的切点为（x0，y0），

因为y′＝

＝3x2－2x，

则y′|x＝x0＝3x－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－，

当x0＝1时，y0＝x－x＋1＝1，

又（x0，y0）在直线y＝x＋a上，

将x0＝1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾舍去．

当x0＝－时，y0＝3－2＋1＝，

则切点坐标为，将代入直线y＝x＋a中得a＝.

层级一　学业水平达标

1．下面说法正确的是（　　）

A．若f′（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线

B．若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f′（x0）必存在

C．若f′（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率不存在

D．若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f′（x0）有可能存在

选C　f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．

2．曲线f（x）＝－在点M（1，－2）处的切线方程为（　　）

A．y＝－2x＋4　　　　　　　B．y＝－2x－4

C．y＝2x－4D．y＝2x＋4

选C　＝＝，所以当Δx→0时，f′

（1）＝2，即k＝2.所以直线方程为y＋2＝2（x－1）．即y＝2x－4.故选C.

3．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为（　　）

A．1B.

C.D．－

选B　∵y′＝

＝＝x2，

∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.

∴切线的倾斜角为，故应选B.

4．曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于（　　）

C．－D．－1

选A　∵y′|x＝1＝＝

＝li（2a＋aΔx）＝2a，

∴2a＝2，∴a＝1.

5．过正弦曲线y＝sinx上的点的切线与y＝sinx的图象的交点个数为（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．无数个

选D　由题意，y＝f（x）＝sinx，

则f′＝

＝.

当Δx→0时，cosΔx→1，

∴f′＝0.

∴曲线y＝sinx的切线方程为y＝1，且与y＝sinx的图象有无数个交点．

6．已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f

（1））处的切线方程是y＝x＋2，则f

（1）＋f′

（1）＝________.

由导数的几何意义得f′

（1）＝，由点M在切线上得f

（1）＝×

1＋2＝，所以f

（1）＋f′

（1）＝3.

3

7．已知曲线f（x）＝，g（x）＝过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f（x）在交点处的切线方程为____________________．

由，得

∴两曲线的交点坐标为（1,1）．

由f（x）＝，

得f′（x）＝li＝＝，

∴y＝f（x）在点（1,1）处的切线方程为y－1＝（x－1）．

即x－2y＋1＝0，

x－2y＋1＝0

8．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．

设f（x）＝y＝x2－3x，切点坐标为（x0，y0），

f′（x0）＝

＝＝2x0－3＝1，故x0＝2，

y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为（2，－2）．

（2，－2）

9．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．

解：

根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为（x0，x），则y′|x＝x0＝＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，

切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.

10．已知直线l：

y＝4x＋a和曲线C：

y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．

设直线l与曲线C相切于点P（x0，y0），

∵＝

＝（Δx）2＋（3x0－2）Δx＋3x－4x0.

∴当Δx→0时，→3x－4x0，即f′（x0）＝3x－4x0，

由导数的几何意义，得3x－4x0＝4，

解得x0＝－或x0＝2.

∴切点的坐标为或（2,3），

当切点为时，

有＝4×

＋a，∴a＝，

当切点为（2,3）时，有3＝4×

2＋a，∴a＝－5，

当a＝时，切点为；

a＝－5时，切点为（2,3）．

层级二　应试能力达标

1.已知y＝f（x）的图象如图，则f′（xA）与f′（xB）的大小关系是（　　）

A．f′（xA）>

f′（xB）

B．f′（xA）<

C．f′（xA）＝f′（xB）

D．不能确定

选B　由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′（xA）<

f′（xB），选B.

2．已知曲线y＝2x3上一点A（1,2），则点A处的切线斜率等于（　　）

A．0　　　　　　　　　　B．2

C．4D．6

选D　Δy＝2（1＋Δx）3－2×

13＝6Δx＋6（Δx）2＋2（Δx）3，＝[2（Δx）2＋6Δx＋6]＝6，故选D.

3．设f（x）存在导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f（x）上点（1，f

（1））处的切线斜率为（　　）

A．2B．－1

C．1D．－2

选B　

＝＝f′（x）＝－1.

4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P（1,1）处的切线互相垂直，则为（　　）

A.B.

C．－D．－

选D　由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P（1,1）处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×

＝－1，∴＝－.

5.如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0,4），（2,0），（6,4），则

＝______.

由导数的概念和几何意义知，

＝f′

（1）＝kAB＝＝－2.

－2

6．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f′（x），f′（0）>

0，对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为________．

由导数的定义，得f′（0）＝

＝＝（a·

Δx＋b）＝b.

又因为对于任意实数x，有f（x）≥0，

则所以ac≥，所以c>

0.

所以＝≥≥＝2.

2

7．已知函数f（x）＝ax2＋1（a＞0），g（x）＝x3＋bx，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值．

∵f′（x）＝＝＝2ax，

∴f′

（1）＝2a，即切线斜率k1＝2a.

∵g′（x）＝＝

＝3x2＋b，