广东省广州市届高中毕业班综合测试二数学理试题WORD版.docx
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广东省广州市届高中毕业班综合测试二数学理试题WORD版
2016年广州市普通高中毕业班综合测试
（二）
数学（理科）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一.选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）已知集合，Z，则
（A）（B）（C）（D）
（2）已知复数，其中为虚数单位，则
（A）（B）（C）（D）
（3）已知，则的值是
（A）（B）（C）（D）
（4）已知随机变量服从正态分布,且,则
（A）（B）（C）（D）
（5）不等式组的解集记为,若,则的最小值是
（A）（B）（C）（D）
（6）使N展开式中含有常数项的的最小值是
（A）（B）（C）（D）
（7）已知函数的图象的一个对称中心为,则函数
的单调递减区间是
（A）Z（B）Z
（C）Z（D）Z
（8）已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为
，，,则球的表面积为
（A）（B）（C）（D）
（9）已知命题：
N,，命题：
N,，
则下列命题中为真命题的是
（A）（B）
（C）（D）
（10）如图,网格纸上的小正方形的边长为,粗实线画出
的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是
（A）（B）
（C）（D）
（11）已知点为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作
双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为
（A）（B）（C）（D）无法确定
（12）设函数的定义域为R,,当时,
则函数在区间上的所有零点的和为
（A）（B）（C）（D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。
第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二.填空题：
本大题共4小题，每小题5分。
（13）曲线在点处的切线方程为.
（14）已知平面向量与的夹角为，，，则.（15）已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点
在椭圆上，则椭圆的方程为.
（16）在△中，分别为内角的对边，，
，则△的面积的最大值为.
三.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分分）
设是数列的前项和,已知,N.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和.
（18）（本小题满分分）
班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班名女同学，名男同学中
随机抽取一个容量为的样本进行分析.
（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？
（写出算式即可，不必
计算出结果）
（Ⅱ）如果随机抽取的名同学的数学，物理成绩（单位：
分）对应如下表：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93
（ⅰ）若规定分以上（包括分）为优秀，从这名同学中抽取名同学，记名同
学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到）;
若班上某位同学的数学成绩为分,预测该同学的物理成绩为多少分?
附：
线性回归方程，其中，.
（19）（本小题满分分）
如图，在多面体中，△是等边三角形，△是等腰直角三角形，
，平面平面，平面.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.
（20）（本小题满分分）
已知点，点是直线上的动点，过作直线，，线段的
垂直平分线与交于点.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若点是直线上两个不同的点,且△的内切圆方程为，直
线的斜率为，求的取值范围.
（21）（本小题满分分）
已知函数R.
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）若时,,求实数的取值范围；
（Ⅲ）求证：
.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4－1:
几何证明选讲
如图,四边形是圆的内接四边形,是圆的直径，，的延
长线与的延长线交于点,过作，垂足为点.
（Ⅰ）证明:
是圆的切线；
（Ⅱ）若，，求的长.
（23）（本小题满分10分）选修4－4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数.以点为极
点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）将曲线和直线化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.
（24）（本小题满分10分）选修4－5:
不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的定义域；
（Ⅱ）若关于的不等式≥的解集是R，求实数的最大值．
2016年广州市普通高中毕业班综合测试
（二）
理科数学试题答案及评分参考
评分说明：
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不给分。
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4.只给整数分数。
选择题不给中间分。
一.选择题
（1）C
（2）B（3）A（4）B（5）A（6）C
（7）D（8）D（9）C（10）B（11）B（12）A
二.填空题
（13）（14）（15）（16）
三.解答题
（17）（Ⅰ）解:
当时,由,得,…………………………1分
两式相减,得,…………………………2分
∴.
∴.……………………………………………………3分
当时,，,则.…………………4分
∴数列是以为首项,公比为的等比数列.………………………5分
∴.……………………………………………………6分
（Ⅱ）解法1:
由（Ⅰ）得.
∴,①…………………7分
②…………………8分
①-②得…………9分
…………………………10分
.…………………………………11分
∴.……………………………………………………12分
解法2:
由（Ⅰ）得.
∵,…………………………………8分
∴
……10分
.……………………………………………12分
（18）（Ⅰ）解：
依据分层抽样的方法，名女同学中应抽取的人数为名，
…………………………………………1分
名男同学中应抽取的人数为名，……………………2分
故不同的样本的个数为.…………………………………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）解:
∵名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为名,
∴的取值为.
∴,,
.…………………7分
∴的分布列为
…………………………………………8分
∴.…………………………9分
（ⅱ）解:
∵,.…………10分
∴线性回归方程为.……………………………………11分
当时,.
可预测该同学的物理成绩为分.………………………………………12分
（19）（Ⅰ）证明：
取的中点,连接,.
∵△是等边三角形，
∴.…………………………………………1分
∵△是等腰直角三角形，，
∴.…………………………………………2分
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面.…………………………………3分
∵平面,
∴∥.
∴,,,四点共面.…………………………4分
∵,平面,平面,
∴平面.………………………………5分
∵平面,
∴.………………………………………………………6分
（Ⅱ）解法1:
作,垂足为,则.
∵△是等边三角形，,
∴,.
在Rt△中,.………………7分
∵△是等腰直角三角形，，
∴.
∴.…………………………………8分
如图,以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直
线为轴,建立空间直角坐标系,
则,,,.
∴,,.
设平面的法向量为,
由,,得…………………………9分
令,得,.
∴是平面的一个法向量.…………………………10分
设直线与平面所成角为,
则.…………………………11分
∴直线与平面所成角的正弦值为.…………………………12分
解法2:
作,垂足为,则.
∵△是等边三角形，,
∴,.
在Rt△中,.………………7分
∵△是等腰直角三角形，，
∴.
∴.………………………………………………8分
由（Ⅰ）知∥，
∵平面,平面,
∴∥平面.
∴点到平面的距离等于点到平面的距离.
作,垂足为,
∵平面，平面，
∴.
∵平面,平面,,
∴平面,且.…………………………9分
在Rt△中,,
在Rt△中,,
∴△的面积为.
设点到平面的距离为,
由,得,
得.……………………………10分
设直线与平面所成的角为,
则.………………………………………………11分
∴直线与平面所成角的正弦值为.………………………12分
注:
求的另法.
由,
得,得.
（20）（Ⅰ）解:
依题意,点到点的距离等于它到直线的距离,………………1分
∴点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.…………2分
∴曲线的方程为.………………………………………………3分
（Ⅱ）解法1：
设点，点，点，
直线方程为：
，………………………4分
化简得，.
∵△的内切圆方程为，
∴圆心到直线的距离为，即.………5分
故.
易知，上式化简得，.………………6分
同理，有.………………………………7分
∴是关于的方程的两根.
∴，.………………………………8分
∴.……………9分
∵，，
∴.
直线的斜率，则.
∴.………………………………10分
∵函数在上单调递增，
∴.
∴.
∴.………………………………………………11分
∴.
∴的取值范围为.………………………………………………12分
解法2：
设点，点，点，
直线的方程为，即，………………4分
∵直线与圆相切，
∴.
∴.………………………………………………5分
∴直线的方程为.
∵点
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