高中数学人教A版必修4阶段质量检测三.docx
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高中数学人教A版必修4阶段质量检测三
阶段质量检测（三）
（A卷 学业水平达标）
（时间：
90分钟，满分：
120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．函数y＝的最小正周期为（ ）
A．2π B．π
C.D.
答案：
C
2．已知α是第二象限角，且cosα＝－，则
cos的值是（ ）
A.B．－
C.D．－
答案：
A
3．已知sin（α－β）cosα－cos（α－β）sinα＝，且β是第三象限角，则cos的值等于（ ）
A．±B．±
C．－D．－
答案：
A
4．设sinθ＝，cosθ＝－，则2θ的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：
D
5．若（4tanα＋1）（1－4tanβ）＝17，则tan（α－β）的值为（ ）
A.B.
C．4D．12
答案：
C
6．（湖北高考）将函数y＝cosx＋sinx（x∈R）的图象向左平移m（m>0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A.B.
C.D.
答案：
B
7．在△ABC中，已知tan＝sinC，则△ABC的形状为（ ）
A．正三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
答案：
C
8．若＝－，则sinα＋cosα的值为（ ）
A．－B．－
C.D.
答案：
C
9．已知sinα－cosα＝－，则tanα＋的值为（ ）
A．－5B．－6
C．－7D．－8
答案：
D
10．若f（x）＝2tanx－，则f的值为（ ）
A．－B．8
C．4D．－4
答案：
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是________．
答案：
12．tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°＝________.
答案：
13．已知θ∈，＋＝2，则
sin的值为________．
答案：
14．已知（sinx－2cosx）（3＋2sinx＋2cosx）＝0，则的值为________．
答案：
三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝（a＋2cos2x）·cos（2x＋θ）为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）若f＝－，α∈，求sinα＋的值．
解：
（1）因为f（x）＝（a＋2cos2x）cos（2x＋θ）是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，
所以y2＝cos（2x＋θ）为奇函数，
又θ∈（0，π），则θ＝，
所以f（x）＝－sin2x·（a＋2cos2x）．
由f＝0得－（a＋1）＝0，即a＝－1.
（2）由
（1）得，f（x）＝－sin2x·（2cos2x－1）＝－sin4x，
因为f＝－sinα＝－，即sinα＝，
又α∈，从而cosα＝－，
所以sin＝sinαcos＋cosαsin＝.
16．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝sin.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f＝cosα＋·cos2α，求cosα－sinα的值．
解：
（1）因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z.
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f（x）的单调递增区间为
，k∈Z.
（2）由已知sin＝cos（cos2α－sin2α），
得sinαcos＋cosαsin
＝（cos2α－sin2α），
即sinα＋cosα＝（cosα－sinα）2（sinα＋cosα）．
当sinα＋cosα＝0时，
由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.
此时，cosα－sinα＝－.
当sinα＋cosα≠0时，有（cosα－sinα）2＝.
由α是第二象限角，知cosα－sinα＜0，
此时cosα－sinα＝－.
综上所述，cosα－sinα＝－或－.
17．（本小题满分12分）已知f（x）＝sinx＋2sin＋cos.
（1）若f（α）＝，α∈，求α的值；
（2）若sin＝，x∈，求f（x）的值．
解：
（1）f（x）＝sinx＋2sincos
＝sinx＋sin＝sinx＋cosx
＝sin.
由f（α）＝，得sin＝，
∴sin＝.
∵α∈，∴α＋∈.
∴α＋＝，∴α＝－.
（2）∵x∈，∴∈.
又∵sin＝，∴cos＝.
∴sinx＝2sincos＝，
cosx＝－＝－.
∴f（x）＝sinx＋cosx＝－＝.
18．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝2sinxcosx＋2cos2x－1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（2）若f（x0）＝，x0∈，求cos2x0的值．
解：
（1）由f（x）＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得
f（x）＝（2sinxcosx）＋（2cos2x－1）
＝sin2x＋cos2x
＝2sin.
∴函数f（x）的最小正周期为π.
∵f（x）＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f（0）＝1，f＝2，
f＝－1，∴函数f（x）在区间上的最大值为2，最小值为－1.
（2）由
（1）可知f（x0）＝2sin.
又∵f（x0）＝，
∴sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈.
从而cos＝－
＝－.
∴cos2x0＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
（B卷 能力素养提升）
（时间：
90分钟，满分：
120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．cos24°sin54°－cos66°sin36°的值为（ ）
A．0 B.
C.D．－
解析：
选B 因为cos24°sin54°－cos66°sin36°＝cos24°sin54°－sin24°cos54°＝sin（54°－24°）＝sin30°＝，故选B.
2．若sinαsinβ＝1，则cos（α－β）的值为（ ）
A．0B．1
C．±1D．－1
解析：
选B 由sinαsinβ＝1，得cosαcosβ＝0，
∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.
3．下列各式中，值为－的是（ ）
A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1D.－cos215°
解析：
选D 用二倍角公式求解可知，只有D的结果为－.
4．设α∈，若sinα＝，则cos等于（ ）
A.B.
C．－D．－
解析：
选B 依题意可得cosα＝，∴cosα＋＝·cosαcos－sinαsin＝cosα－sinα＝－＝.
5．设tan（α＋β）＝5，tan＝4，那么tanα＋的值等于（ ）
A．－B.
C.D.
解析：
选B tan＝tan＝＝＝.
6．在△ABC中，若tanAtanB＋tanA＋tanB＝1，则cosC的值是（ ）
A．－B.
C.D．－
解析：
选A 由tanAtanB＋tanA＋tanB＝1，得
tanA＋tanB＝1－tanAtanB，
所以tan（A＋B）＝＝1.
又tan（A＋B）＝－tanC，所以tanC＝－1，
所以C＝，cosC＝cos＝－.
7．函数f（x）＝sinx－cosx，x∈的最小值为（ ）
A．－2B．－
C．－D．－1
解析：
选D f（x）＝sin，x∈.
∵－≤x－≤.∴f（x）min＝sin＝－1.
8．已知α、β为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α＋β的值是（ ）
A.B.
C.或D.或
解析：
选A ∵α、β为锐角，且cosα＝，cosβ＝，
∴sinα＝＝，sinβ＝＝.
∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.
9．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则此三角形为（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：
选B ∵sinBsinC＝cos2，
∴sinBsinC＝，
可得2sinBsinC＝1＋cos[π－（B＋C）]，
即2sinBsinC＝1－cos（B＋C）．
∴cos（B－C）＝1.又角B、角C为△ABC的内角，
∴B－C＝0，即B＝C.故选B.
10．已知函数f（x）＝sinx＋cos，对任意实数α，β，当f（α）－f（β）取最大值时，|α－β|的最小值是（ ）
A．3πB.
C.D.
解析：
选B f（x）＝sinx＋cos＝
sinx＋sin＝sin.
又当f（α）－f（β）取最大值时，|α－β|的最小值是函数f（x）的最小正周期的一半，而函数的最小正周期T＝＝3π，从而选B.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．函数f（x）＝2cos2＋sinx的最小正周期是________．
解析：
化简得f（x）＝1＋sin，
∴T＝＝2π.
答案：
2π
12．已知sinα＝，α∈，cosβ＝－，β∈，则cos（α＋β）＝________.
解析：
因为sinα＝，α∈，
所以cosα＝－＝－.
因为cosβ＝－，β∈，
所以sinβ＝－＝－.
所以cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.
答案：
13．sinα＝，cosβ＝，其中α，β∈，则α＋β＝________.
解析：
∵α，β∈，sinα＝，cosβ＝，
∴cosα＝，sinβ＝.
∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝0.
∵α，β∈，∴0<α＋β<π，故α＋β＝.
答案：
14．cos6·tan6的符号为________（填“正”“负”或“不确定”）．
解析：
∵<6<2π，∴6是第四象限角．
∴cos6>0，tan6<0，则cos6·tan6<0.
答案：
负
三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）已知sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－，求cos3＋sin3－θ的值．
解：
cos3＋sin3
＝sin3θ＋cos3θ
＝（sinθ＋cosθ）（sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ）
＝（1－）[1－（1－）]＝－2.
16．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝sin2x－2sin2x.
（1）若点P（1，－）在角α的终边上，求f（α）的值；
（2）若x∈，求f（x）的值域．
解：
（1）因为点P（1，－）在角α的终边上，
所以sinα＝－，cosα＝，
所以f（α）＝sin2α－2sin2α＝2sinαcosα－2sin2α
＝2××－2×2＝－3.
（2）f（x）＝sin2x－2sin2x＝sin2x＋cos2x－1＝2sin－1，
因为x∈，所以－≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，
所以f（x）的值域是[－2,1]．
17．（本小题满分12分）（广东高考）已知函数f（x）＝Acos，x∈R，且f＝.
（1）求A的值；
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