人口指数模型讲解学习.docx
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人口指数模型讲解学习
指数函数的数据拟合
世界人口预测问题
下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据（单位：
亿）
年
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
人口
29.72
30.61
31.51
32.13
32.34
32.85
33.56
34.20
34.83
有人根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过60亿。
这一结论在六十年代末令人难以置信，但现在已成为事实。
试建立数学模型并根据表中数据推算出2000年世界人口的数量。
根据马尔萨斯人口理论，人口数量按指数递增的规律发展
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。
早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus,1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：
其中t表示经过的时间，表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数／万人
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（1）如果以各年人口增长平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;
解：
设1951~1959年的人口增长率分别为
于是,1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为
由图4可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合。
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
将y=130000代入
由计算可得
所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.
functiony=ys1（a,t）
y=55196*exp（a*t）;
t=[0:
9];
y=[55196563005748258796602666145662828645636599467207];
a0=[1];
[a,res]=lsqcurvefit（'ys1',a0,t,y）
t1=[0:
0.1:
9];
y1=55196*exp（0.0220*t1）;
plot（t1,y1,t,y,'*'）
例1已知1790—1990年间美国每隔十年的人口记录如下：
（人口单位：
106）
年
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
人口
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.2
23.2
年
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
人口
31.4
38.6
50.2
62.9
76
92
106.5
年
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
人口
123.2
131.7
150.7
179.3
204
226.5
251.4
用以上数据检验Malthus人口（指数）增长模型
方法一
（1）编写函数M文件fit1（图1）
functiony=fit1（a,t）
y=3.9*exp（a*（t-1790））;
（2）输入并运行如下命令
t=1790:
10:
1990;
y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4];
a0=0.1;[a,res]=lsqcurvefit（'fit1',a0,t,y）
a=0.0217res=1.2724e+004
（或t=1790:
10:
1990;
y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4];
f=inline（'3.9*exp（a*（t-1790））','a','t'）;
[a,res]=lsqcurvefit（f,0.1,t,y）
人口增长模型的图形显示
ti=1790:
1990;yi=3.9*exp（a*（ti-1790））;
plot（t,y,'o',ti,yi）
（图1）
方法二
（1）编写函数M文件fit1（图2）
functiony=fit1（a,t）
y=a
（1）*exp（a
（2）*（t-1790））;
（2）输入并运行如下命令
t=1790:
10:
1990;
y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4];
a0=[0,0];[a,res]=lsqcurvefit（'fit1',a0,t,y）
a=13.86950.0148
res=1.8257e+003
人口增长模型的图形显示
ti=1790:
1990;yi=a
（1）*exp（a
（2）*（ti-1790））;
plot（t,y,'o',ti,yi）
gtext（'人口指数函数'）%注释
（或t=1790:
10:
1990;
y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4];
[c,d]=solve（'c*exp（d*10）=5.3','c*exp（d*20）=7.2','c','d'）
f=inline（'a
（1）*exp（a
（2）*（t-1790））','a','t'）;
[a,res]=lsqcurvefit（f,[3.9,0.03],t,y））
a=
13.86920.0148
res=
1.8257e+003
（图2）
（图1）（图2）
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