结构随机振动.ppt

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结构随机振动01,教材:

1.StochasticStructuralDynamicsInEarthquakeEngineeringG.D.ManolisP.K.Koliopoulos2.结构随机振动欧进萍王光远,第一章工程系统中的随机性1.1随机结构动力学的研究对象我们知道有这样一类载荷:

作用在楼房和桥梁上的风载荷;作用在海洋平台和船舰上的水动力荷载;作用在楼房和坝体上的地震荷载.这类荷载的特点是随时间在强度和频率含量有很大的变化.对于这类载荷中的一条记录,它是确定的,用在以前的结构动力学的课程中知识我们可以求得数值觧.但是这样的一个觧很少有实用价值,原因是我们用的一条记录,那是以前发生的,将来发生的记录是不会和过去的记录一样的.这样,我们不能知道将来的精确的情况,但还要估计一个大概可能的结果.这就是随机动力学要解决的问题.如果结构本身的参数也存在不确定性,这更是随机结构动力学要解决的问题.,我们把这类载荷称为随机过程,我们知道这类载荷的输入具有一定的统计特性,即均值,方差等等,我们想知道输出的统计特性.这就是随机结构动力学要研究的对象,显然它不同于我们已经学过的结构动力学课程.这门课程的先修课程为概率论,随机过程,和确定性振动理论.,1.2问题的分类按随机性的来源分:

一个是激励过程的随机性,这是随机振动理论主要解决的问题;一个是振动系统的参数的随机性,这是参数随机振动理论.正问题和反问题:

已知输入和系统求输出这是正问题,称为响应确定问题;已知输入和输出求系统的参数这是反问题,称为系统识别问题,我们这门课程不涉及,有专门课程.非线性的来源分:

一个是振荡系统的力学参数的非线性,对于地震工程来说,一般是指迟滞行为,这样的系统常常显示复杂的非线性现象,例如多吸引子,跳跃现象,分岔和混沌;,3.（续上）另一个非线性来源于力函数机理,指输入的非线性.4.最后,另一个分类准则是基于动力问题的力和响应的统计特性,例如高斯分布,平稳性等等.,第二章随机变量和随机过程2.1引论这一章的目的是介绍概率论的基本概念,随机变量的统计特征和随机过程.这些知识和结构动力学知识在一起就可以了解以后的章节的内容.这一章具体要掌握:

1.什么是随机变量和随机向量?

怎样描述它们的统计特性?

2.作用在随机变量和随机向量的算子怎样改变它的统计特性?

3.哪些统计分布通常利用于描述物理现象?

4.什么是随机过程?

它与随机变量怎样不同?

5.平稳的,非平稳的和各态历经的随机过程的差别是什么?

6.从设计者的角度来看,描述结构动力学涉及的随机过程的必要的统计测量是什么?

2.2概率论的概念在自然界或社会活动的许多方面存在着不确定性参数.它们都是一些可测的量（一场地每天最大的温度,机场乘客数,某种股票交易指数,一指定场地期望出现的下一次严重地震的震级）和不可测的量（下一次选举的赢者,某一任务的后果）.对于这些不确定性参数的可能取值（或可能后果）需要用概率来描述.我们把某一不确定性参数说成一个事件,这个事件的一个可能后果为,所有可能后果组成一个集合,把它称为样本空间;样本空间的每个元素称为样本点.现在我们对某个事件做试验,试验次数是一个大数,那么可能的样本点出现的次数为那么有,为样本空间的样本点数,每一个可能后果出现的相对频率为,很清楚有和,概率在相对频率中趋于无穷大时,那么某一后果出现的概率为,Bernoulli大数定理可以证明上面的式子,即有,2.3随机变量定义随机变量是一个函数,是样本空间到实数域的映射.这样就可以用代数来运算概率.,样本空间,实数域,映射,我们用大写字母来表示随机变量,用相应的小写字母表示它的一个实现,并且为了简单随机变量写成.随机变量分为离散的和连续的.,2.3.1随机变量的概率分布,在概率意义上如何完整描述一个随机变量?

它依赖于确定控制样本空间中每一样本点实现的相对频率的概率分布.对于离散随机变量的概率分布一般是根据概率函数来表示.而连续随机变量是利用概率密度函数来表示.这两类随机变量都可以用累积分布来表示.定义累积分布（cumulativedistribution）.考虑事件,这个可能事件是对应这个随机变量X的许多值（或无穷多个值）成为现实,并且这个不等式实现的概率包括随机变量X的这些值的每一个实现的概率.因此我们定义累积分布为,这是x的单调增加函数,具有,对于离散随机变量,假定实现值,那么相应的累积分布定义为,对于连续随机变量,定义累积分布的导数为概率密度函数p（x）（theprobabilitydensityfunction）.即有,2.3.2随机向量的概率分布,许多物理现象是被随机向量所描述.这个向量是由两个或两个以上的随机变量所组成,这些随机变量在统计意义上可能是互相独立,也可能是互相不独立.,随机向量的统计描述是这些随机变量的联合概率分布（thejointprobabilitydistribution）.假定有两个随机变量,描述一个随机事件.定义联合累积概率函数为,很清楚,这个函数要满足下面的边界条件:

随机向量的联合概率密度函数定义为的偏导数:

因此,边缘一维概率函数（themarginalone-dimensionalprobabilityfunctions）可以从相应的联合概率密度函数导出,即,条件概率.定义为在已知随机变量取一个值的条件下,另一个随机变量取一个值的概率.条件概率密度函数为,上式要求.进一步当,那么,如果两个随机变量统计独立,那么,和,N维概率密度函数,边缘概率密度函数和条件概率密度函数分别为（mn）:

2.3.2.1数值例子.如果两个随机变量的联合概率密度函数为,证明是统计独立的.,因为,所以是统计独立的.,2.3.3统计矩（StatisticalMoment）,引言实际上想要确定一个概率函数是很困难的,甚至是不可能的,有时也不是绝对需要的.例如,混凝土的强度的实验估计几乎不可能确定支配样本强度值的精确概率法则.通常实验室试验的目的是估计平均强度值和偏离这个平均强度值的程度.从设计的观点看,确定某些统计参数-所谓统计矩-是足够的,因为这些参数包含了概率函数形状和性质的重要信息.,平均（期望）值mean（expected）value为了定义统计矩,我们需要介绍随机变量或随机变量的函数的平均（期望）值的概念,它被定义为以下的一个线性操作.,对于离散随机变量:

对于连续随机变量:

如果,那么函数的平均值被称为n-阶统计矩,记为.最有用的统计矩是一阶矩和二阶矩,分别称为均值和均方值:

如果,那么函数的平均值被称为n-阶中心统计矩,记为.最有用的中心统计矩是二阶中心矩,被称为方差（variance）,即,方差和它的根（标准差standarddeviation）是测量随机变量偏离均值的离散程度.,变异系数（coefficientofvariation）定义为:

它是无量纲测量随机变量偏离均值的离散程度.,偏度系数（skewness）定义为:

这个无量纲系数提供概率密度函数形状的对称性信息.概率密度函数是对称于平均值.概率密度函数集中在左边,而概率密度函数集中在右边.,峰度系数（kurtosis）定义为:

这个系数提供随机变量的概率密度函数离开均值接近于零的速率.值大表明分布的尾部厚度增加,这样在离平均值一定距离的极值实现的概率比较高.,值得注意,了解对于一个随机变量的统计特性往往是足够的,并不要求概率密度函数的完整的描述.,把上面的关系推广到个随机变量的情况,函数的平均值定义为,假定有两个随机变量和的均值分别为和,那么定义两个随机变量的相关（corelation）和协方差（covarince）,定义两个随机变量的无量纲的相关系数,可以证明,如果两个随机变量的均值为零,那么,如果,那么两个随机变量的被称为不相关.,如果那么两个随机变量被称为统计独立,因此有,2.3.3.1数值例子求证,证明:

2.3.3.2数值例子求证,证明:

2.3.3.3数值例子求证两个随机变量的相关系数的范围为,证明:

假定这两个随机变量的均值分别为,那么我们定义两个新随机变量,对于任何实数,两个随机变量取任意值,不等式都成立.因此有,要使上面的右边的不等式,即关于的一元二次方程的不等式,成立,那么它的判别式一定要小于等于零.即有,我们来进一步证明上面推理成立,上面左式得到,即得到上面右式,2.3.4特征函数,特征函数定义为,特征函数或矩生成函数可以用来确定统计矩的另外一种方法.,对特征函数做泰勒级数在处的展开:

其中:

所以,对特征函数的对数也做泰勒级数在处的展开:

所以:

其中:

系数被称为半不变量或累积量（semi-invariants）,它与统计矩有关,即,无量纲系数可以用半不变量来表示:

上面的关系也可以推广到n个变量的情况.这里给出前三个联合半不变量,定义如下:

2.3.5车比雪夫不等式（ChebyshevsInequality）,引入车比雪夫不等式的目的.在结构分析和设计中,目的是估计应力或应变响应超过某一极限的概率.为了完成这个目的,我们需要确定感兴趣的随机响应量的分布.如果这样的确定不能达到,人们就要利用近似技术来计算它们超过某一极限的概率.这个技术是基于车比雪夫不等式并考虑均值和标准差.,车比雪夫不等式为,来证明这个不等式:

（a）根据定义有,（b）另外有,（c）考虑到积分极限有,所以:

比较（a）和（c）车比雪夫不等式得到证明.,结构随机振动02,2.4随机变量的变换问题的提出感兴趣的工程中的许多量是随机变量的线性或非线性的变换.假定定义为的一一对应.的任一值是一个随机事件,因为它联系随机变量的一个指定值的实现.问题是:

已知的累积分布和概率密度函数,随机变量的累积分布和概率密度函数是什么?

条件是随机变量是连续的,函数是单调增加（或减少）的,并且可微的,我们得到,证明上式,（a）假定是增函数,那么,对上式求导数得到概率密度函数:

（b）如果是递减的,那么,对上式求导得到概率密度函数:

（a）和（b）考虑在一起就证明了上面的问题:

如果不是一一对应假定随机变量的个值满足方程,那么这个变换关系为,例题2.4.1如果随机变量有零均值概率密度函数,我们来确定随机变量的概率密度函数.,我们知道随机变量的每一值对应随机变量的两个值,那么有,考虑对称性上式变为,一个随机向量的一一对应的n-维变量的映射:

那么概率密度函数变换为,其中是雅克比（Jacobian）变换,如果是维,并且,这种情况可以把扩充为维,方法如下:

利用边缘概率密度函数的概念有,如果我们有,那么有,2.5一些有用的概率分布,2.5.1正态分布（或高斯分布）Normal（orGaussian）Distribution,随机变量的正态分布标记为,概率密度函数为,正态分布是关于平均值对称的,并且.另外半不变量.标准状态分布为,正态随机变量有些很有用的性质.在工程应用中最重要有:

如果是正态随机变量的线性变换,那么也是正态分布的随机变量.如果,那么.也就是高阶统计矩都可以用和来表示.如果是统计独立的随机变量,并且有有限均值和标准差,那么随机变量当时它的分布趋于正态分布.这个性质就是中心极限定理.任何具有均值方差的非正态随机变量的概率密度函数可以近似用标准正态分布,高阶半不变量和Hermite多项式来表示.令,这个非正态随机变量的概率密度函数表示为,其中,n-维正态分布随机向量的概率密度函数为,其中:

称为协方差矩阵,正态随机向量的一个极其有用的性质是:

其中,例题2.5.1.1如果随机变量,相关系数为求证,我们取,有,证毕.,2.5.2瑞利,韦布尔,泊松,平均分布,瑞利（Rayleigh）分布:

在研究随机振动的振幅值,以及在噪声理论中很有用.,韦布尔（Weibull）分布:

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