一单项选择题本大题共5小题每小题2分共10分Word文档格式.docx
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10.函数在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.
11.函数的单调减少区间是___________.
12.微分方程的通解是___________.
13.设___________.
14.设则dz=_______.
15.设_____________.
三、计算题
(一)(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
16.设,求dy.
17.求极限
18.求不定积分
19.计算定积分I=
20.设方程确定隐函数z=z(x,y),求。
四、计算题
(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
21.要做一个容积为v的圆柱形容器,问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时,所用材料最省?
22.计算定积分
23.将二次积分化为先对x积分的二次积分并计算其值。
五、应用题(本题9分)
24.已知曲线,求
(1)曲线上当x=1时的切线方程;
(2)求曲线与此切线及x轴所围成的平面图形的面积,以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积.
六、证明题(本题5分)
25.证明:
当时,
参考答案
1.答案:
B
2.答案:
A
3.答案:
4.答案:
C
5.答案:
D
6.答案:
7.答案:
8.答案:
9.答案:
10.答案:
11.答案:
(1,2)
12.答案:
13.答案:
14.答案:
15.答案:
16.答案:
17.答案:
-1
18.答案:
19.答案:
20.答案:
21.答案:
22.答案:
23.答案:
1
24.答案:
(1)
(2),
(2)所求面积
所求体积
故当时单调递增,则即
三.解答题(每小题7分共28分)
16计算
解原式=
原式=
17.设,求
解显然
原式=
18.设,具有二阶连续偏导数,求
解令,则
19.求摆线的弧长L
解
四综合题(共18分)
20.修建一个容积等于108的无盖长方体蓄水池,应如何选择水池长、宽、高尺寸,才使它的表面积最小,并求出它的最小表面积。
解设水池长、宽、高分别为,则问题是在条件
下,求函数的最小值,作Lagrange函数
解方程组
得唯一可能极值点,由实际问题知表面积最小值存在,所以在长为6,宽为6,高为3时,表面积最小,最小值为108.
21.21、若在上连续,在内有二阶导数,求证
(1)存在,使
(2)存在,使
证明
(1)设,则在上
满足Lagrage中值定理条件,所以,存在,使
(2)由已知还有,在内可导,再次用Lagrage中值定理
所以,存在,使
结合
(1)有
试题及答案
一、单项选择题
1.设在点处的偏导数存在,则=。
A、0;
B、;
C、;
D、。
2.设曲面与平面的交线在点处的切线与轴正向所成的角为,则。
A、;
C、;
3.是级数发散的。
A、必要条件;
B、充分条件;
C、充要条件;
D、既非充分又非必要。
4.在区域:
上的值为。
D、0。
5.下列函数中,哪个是微分方程的解。
二、是非判断题(15分)
1.=0,其中为圆周按逆时针转一周()
2.如果,均存在,则沿任何方向的方向导数均存在()
3.以为面密度的平面薄片的质量可表为。
()
4.在上连续且符合狄利克雷条件,则它的余弦级数处处收敛,且上收敛于。
1.微分方程的通解包含了所有的解。
三、计算题(16分)
1.设,其中具有一阶连续偏导数,求,。
2.已知,确定的,求。
四、(10分)求的值,其中为曲面和平面所围成的区域。
五、(12分)验证:
在右半平面内是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数。
六、(10分)求,其中为和所围立体边界的外侧。
七、(12分)求微分方程的特解。
八、(10分)求的和函数。
一、单项选择题(15分,每题3分)
1、D;
2、C;
3、A;
4、D;
5、B。
二、是非判断题(15分,每题3分)
1、×
;
2、×
3∨、;
4、∨;
5、×
。
1.……4分
……10分
2.……1分
……3分
……5分
……6分
四、(10分)……6分
五、(12分)
……4分
在右半平面内恒成立,因此在右半平面内是某个函数的全微分……6分
……8分
……12分
六、(10分)……4分
七、(12分)
……2分
设此方程的特解为:
代入原方程得
故此方程的通解为:
代入初始条件
特解为:
八、(10分)……2分
从而收敛域为
设
……8分
当时,有
三、计算题(每小题7分,共49分)
四、问答题(每小题6分,共12分)
五、应用题(本题共9分)