常微分方程习题答案2章Word文件下载.docx
《常微分方程习题答案2章Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程习题答案2章Word文件下载.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
习题2.2
求下列方程的解
1．=
y=e（e）=e[-e（）+c]
=ce-（）是原方程的解。
2．+3x=e
原方程可化为：
=-3x+e
所以：
x=e（ee）=e（e+c）=ce+e是原方程的解。
3．=-s+
s=e（e）
=e（）=e（）=是原方程的解。
4．，n为常数.
是原方程的解.
5．+=
=-
（）=
是原方程的解.
6．
=+
令则=u
因此：
=，，
，（*）
将带入（*）中得：
是原方程的解.
13
，这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以，
令，
P（x）=Q（x）=-1，由一阶线性方程的求解公式
=，
14
两边同乘以：
，令
这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以令
，P（x）=Q（x）=
由一阶线性方程的求解公式
==
，
15
这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以：
，令：
=P（y）=-2yQ（y）=
由一阶线性方程的求解公式
==
，，
16y=+
，
P（x）=1Q（x）=由一阶线性方程的求解公式
，c=1，y=
2、设函数（t）于∞<
t<
∞上连续，（0）存在且满足关系式（t+s）=（t）（s），试求此函数。
令t=s=0得（0+0）=（0）（0）即（0）=故或
（1）当时即∞,∞）
（2）当时=
===
于是变量分离得积分
由于，即t=0时，1=c=1，故
习题2.3
1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。
1.
，=1.
则，所以此方程是恰当方程。
凑微分，，得：
2．
，.
则.所以此方程为恰当方程。
凑微分，，得
3．
则.因此此方程是恰当方程。
（1）
（2）
对
（1）做的积分，则
=（3）
对（3）做的积分，则
=
则
故此方程的通解为
4、
.则此方程为恰当方程。
凑微分，
，得：
5.（sin-cos+1）dx+（cos-sin+）dy=0
M=sin-cos+1N=cos-sin+
=-sin-cos-cos+sin
所以，=，故原方程为恰当方程
因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0
d（-cos）+d（sin）+dx+d（-）=0
所以，d（sin-cos+x-）=0
故所求的解为sin-cos+x-=C
求下列方程的解：
6．2x（y-1）dx+dy=0
=2x,=2x，所以=，
故原方程为恰当方程又2xydx-2xdx+dy=0
所以，d（y-x）=0，故所求的解为y-x=C
7.（e+3y）dx+2xydy=0
edx+3ydx+2xydy=0，exdx+3xydx+2xydy=0
所以，de（x-2x+2）+d（xy）=0
即d[e（x-2x+2）+xy]=0
故方程的解为e（x-2x+2）+xy=C
8.2xydx+（x+1）dy=0
2xydx+xdy+dy=0，d（xy）+dy=0
即d（xy+y）=0，故方程的解为xy+y=C
9、
两边同除以得，即
故方程的通解为
10、
方程可化为：
，即
故方程的通解为：
即：
同时，y=0也是方程的解。
11、
即：
故方程的通解为：
12、
故方程的通解为：
13、
这里，
方程有积分因子
两边乘以得：
方程是恰当方程
，即：
14、
这里
因为，故方程的通解为：
15、
方程有积分因子：
两边乘以得：
方程为恰当方程
故通解为：
16、
两边同乘以得：
习题2.4
求解下列方程
1、
令，则，
从而，
于是求得方程参数形式得通解为.
2、
令，则，即，
从而
，
于是求得方程参数形式得通解为.
3、
=
于是求得方程参数形式的通解为,
另外，y=0也是方程的解.
4、,为常数
于是求得方程参数形式的通解为.
5、1
6、
令，则，得，
所以，
从而，
于是求得方程参数形式的通解为，
因此方程的通解为.
习题2.5
两边同除以，得：
，，即
4．
两边同除以，得，令
则，即，得到，
即，另外也是方程的解。
，，得到
即，另外也是方程的解。
8.
令则：
即
得到，故
即，另外也是方程的解。
10．
令，即，而故两边积分得到
，因此原方程的解为，。
12.
，令
则，即
故方程的解为
14．
令则那么
求得：
故方程的解为或可写为
16．
令则，
即方程的解为
18．
将方程变形后得
同除以得：
令则
即原方程的解为
19.X（
方程可化为2y（令
27.
令，，则
，，，
两边积分得即为方程的通解。
另外，，即也是方程的解。
28.
两边同除以，方程可化为：
令，则
即，
两边积分得即为方程的解。
29.
令，则，，
那么即
两边积分得，即为方程的解。
30.
方程可化为
两边积分得即
为方程的解。
31.
方程可化为
两边同除以，得
即
令，，则即
两边积分得将代入得，
即故
32.
方程可化为两边同加上，得（*）
再由，可知
（**）
将（*）/（**）得
即整理得
另外，也是方程的解。
求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。
设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为：
由题意得
即也即
即即
升级会员 