法向量求法及应用方法Word格式文档下载.doc
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,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
图1-1
C1
C
B
y
F
A
D
x
A1
D1
z
B1
E
方法三（外积法）:
设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积为一长度等于，（θ为,两者交角，且），而与,皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为的方向,。
（注：
1、二阶行列式:
；
2、适合右手定则。
）
例1、已知，，
试求
（1）：
（2）：
Key:
（1）;
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体中，
图2-1-1
α
求平面AEF的一个法向量。
图2-1-2
二、平面法向量的应用
1、求空间角
（1）、求线面角：
如图2-1，设是平面的法向量，
AB是平面的一条斜线，，则AB与平面
所成的角为：
图2-1-1:
图2-1-2:
图2-3
β
图2-2
（2）、求面面角:
设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：
（图2-2）;
（图2-3）
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。
约定，在图2-2中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；
在图2-3中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。
我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。
2、求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导：
如图2-4,①作直线a、b的方向向量、，
图2-4
n
a
b
求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
②在直线a、b上各取一点A、B，作向量；
③求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为
图2-5
M
N
O
其中
（2）、点到平面的距离:
如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
图2-6
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点P到
平面α的距离公式为
（3）、直线与平面间的距离:
图2-7
如图2-6,直线与平面之间的距离：
，其中。
是平面的法向量
（4）、平面与平面间的距离:
图2-8
如图2-7,两平行平面之间的距离：
是平面、的法向量。
图2-9
3、证明
图2-10
（1）、证明线面垂直：
在图2-8中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（）。
（2）、证明线面平行：
在图2-9中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（）。
图2-11
（3）、证明面面垂直：
在图2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（）
（4）、证明面面平行：
在图2-11中,向是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（）。
图3-1
P
三、高考真题新解
1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）
已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点
（Ⅰ）证明：
面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小
解:
以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
，，设平面PAD的法向量为
，，设平面PCD的法向量为
，，即平面PAD平面PCD。
，，
，，设平在AMC的法向量为.
又,设平面PCD的法向量为.
.
面AMC与面BMC所成二面角的大小为.
2、（2006年云南省第一次统测19题）（本题满分12分）
图3-2
如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中点。
（Ⅰ）求证：
AD∥平面A1BC；
（Ⅱ）求证：
平面A1MC⊥平面A1BD1；
（Ⅲ）求点A到平面A1MC的距离。
以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
,设平面A1BC的法向量为
又,,,即AD//平面A1BC.
,设平面A1MC的法向量为:
又,,设平面A1BD1的法向量为:
,即平面A1MC平面A1BD1.
设点A到平面A1MC的距离为d,
是平面A1MC的法向量,
又,A点到平面A1MC的距离为:
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
（1）、建立空间直角坐标系（利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系），用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（化为向量问题）
（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）
（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形问题）
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