图论基础信息学奥赛PPT课件下载推荐.ppt

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例如V1和V2可以同机飞行，而V1和V3就不行。

1.1引言,例3此类问题属于图的最大匹配问题将实际生活中的事物分析转化为图论问题的实例还很多.,1.2图的定义,图：

由若干个不同顶点与连接其中某些顶点的边所组成的图形。

图的表示：

通常用一个大写字母G来表示图，用V来表示所有顶点的集合，E表示所有边的集合，并且记成G=（V,E）。

1.2图的定义,子图：

如果对图G=（V,E）与G=（V,E）,G的顶点集是G的顶点集的一个子集（VV）,G的边集是G的边集的一个子集（EE），我们说G是G的子图,1.2图的定义,环：

如果一条边，它的起点和终点相同，这样的边称为环。

平行边：

若连接两个顶点的边有多条，则这些边称之为平行边。

孤立点：

不与任何边关联的顶点称为孤立点。

1.2图的定义,简单图：

如果一个图没有环，并且每两个顶点之间最多只有一条边，这样的图称之为简单图。

在简单图中，连接Vi与Vj的边可以记成（Vi,Vj）完全图：

如果G是一个简单图，并且每两个顶点之间都有一条边，我们就称G为完全图。

通常将具有n个顶点的完全图记为Kn。

二分图：

如果G是一个简单图，它的顶点集合V是由两个没有公共元素的子集X=X1,X2,.,Xn与Y=Yl,Y2,.,Ym组成的，并且Xi与Xj（1i,jn）,Ys与Yt（1s,tm）之间没有边连接，则G叫做二分图。

1.2图的定义,简单图、完全图、二分图,1.2图的定义,完全二分图：

如果在二分图G中，IXI=N,IYI=M，每一个XiX与每一个YjY有一条边相连，则G叫做完全二分图,1.2图的定义,如果G是一个N个顶点的简单图，从完全图Kn中把属于G的边全部去掉后，得到的图称为G的补图，通常记为G。

一个图的补图的补图就是自身。

1.2图的定义,相邻：

如果图G的两个顶点Vi与Vj之间有边相连，我们就说Vi与Vj是相邻的，否则就说Vi与Vj是不相邻的。

如果顶点V是边e的一个端点，就说顶点V与边e是相邻的，e是从V引出的边。

度数：

从一个顶点V引出的边的条数，称为V的度数，记作d（V）。

1.2图的定义,下图中，d（V1）=d（V2）=d（V3）=d（V4）=d（V5）=5-1=4,d（Y3）=2等等。

1.2图的定义,K度正则图：

把每个顶点的度数为常数K的图叫做K度正则图。

经常使用下面两个符号:

1.2图的定义,从顶点度数问题的讨论中，引出一些有趣的结论:

1.2.对于任意的图G，奇次顶点的个数一定是偶数。

1.2图的定义,例1、空间是否有这样的多面体存在，它们有奇数个面，而每个面又有奇数条边?

分析:

根据题意，可以构造一个图，以面为顶点，当且仅当两个面有公共棱时，则在G的相应两顶点间连一条边，得到图G。

依题意，图的顶点个数是奇数，而且每个顶点的度数d（V）是奇数，从而也是奇数，与结论1相违，故这种多面体不存在。

1.2图的定义,例2、晚会上大家握手联欢，问是否会出现握过奇次手的人是奇数的情况?

一个图，以人为顶点，两人握手时，则相应的两个顶点之间连一条边，于是每人握手的次数即相应顶点的度数。

由结论2，奇次顶点的个数总是偶数，所以握过奇次手的人数是奇数的情况不可能出现。

1.3道路与回路,道路：

在图G中，一个由不同的边组成的序列e1,e2.,eg，如果ei是连接Vi-1与Vi（i=1,2,.,g）的，我们就称这个序列为从V0到Vg的一条道路，数g称为路长，V0与Vg称为这条道路的两个端点，Vi（1=i=g-1）叫做道路的内点。

如果G是简单图，这条道路也可以记作（V0,V1,.,Vg）,1.3道路与回路,下图中e1,e2,e3,e4,e5,e6组成一条道路,1.3道路与回路,轨道：

在道路的定义中，并不要求V0至Vg，互不相同。

如果V0至Vg互不相同，这样的道路称为轨道，记成P（V0,Vg）。

回路：

V0=Vg的路称为回路。

圈：

V0=Vg的轨道叫做圈。

K阶圈：

长为K的圈叫做K阶圈。

显然，如果有一条从V到V的道路上去掉若干个回路，便可得到一条从V到V的轨道。

1.3道路与回路,U,V两顶点的距离：

U,V间最短轨道的长度，记作为D（U,V）。

连通图：

若U与Y之间存在道路，则称U与V相连通。

图G中任意两个顶点皆连通时，称G为连通图。

1.3道路与回路,如果图G是一条从V0到Vg的道路，那么该条道路上的每一个内点Vi（1=i=g-1）都是度数为偶数的顶点。

因为对Vi来说，有一条进入Vi的边，就有一条从Vi引出的边，而且进出的边不能重复已走过的边，所以与Vi相邻的边总是成双的。

故图G至多有两个奇顶点，即V0与Vg。

如果G是一条回路，那么根据上面推理，V0与Vg的度数也是偶数。

由此，我们可以引出下面一个结论:

1.3道路与回路,有限图G是一条道路（即可以一笔画成）的充分必要条件是G是连通的，且奇顶点的个数等于0或2，并且当且仅当奇顶点的个数为0时，连通图G是一条回路（孤立点可以看作是回路）。

1.3道路与回路,七桥问题：

一条河从城市穿过，河中有两个岛A与D，河有七座桥，连接这两个岛及河的两岸B,C。

如下图所示：

1.3道路与回路,问:

（1）一个旅行者能否经过每座桥恰好一次，既无重复也无遗漏?

（2）能否经过每座桥恰好一次，并且最后能够回到原来出发点?

七桥问题转换成图后，实际上就成了图的一笔画问题：

能否一笔画出这个图，每条边既无遗漏，也无重复？

能否一笔画出这个图，并且最后回到出发点。

根据道路和回路的知识解答,1.3道路与回路,显然，由于七桥问题对应的图中有4个奇顶点，因而不能一笔画成，即一个旅行者要既无重复也无遗漏地走过图中七座桥是不可能的。

需要几笔呢？

1.4树,树：

没有圈的连通图称作树，通常用T表示。

T中d（V）=1的顶点叫做叶;

森林：

每个连通分支皆为树的图叫做森林。

平凡树：

孤立的顶点叫做平凡树。

树的图论特征：

如果树T的顶点数为N，那么它的边数M=N-1;

倒过来，一个具有N个顶点、M=N-1条边的连通图G，一定是一棵树。

1.4树,红楼梦中荣国府的世系图就是一棵树：

1.4树,树T具有以下性质:

1.在T中去掉一边后所得的图G是不连通的，2.T添加一条边后所得的图G一定有圈;

3.T的每一对顶点V与V之间有且仅有一条轨道相连。

1.4树,设G是一个连通图，如果G中有圈，我们在这个圈中去掉一条边，得到的G还是连通的，如果G仍然有圈，再在圈中去掉一条边得连通图G，.，这样继续下去，最后得到一个树T，T与G的顶点是相同的，并且从T陆续添加一些边就得到G。

具有这样性质的树称为连通图G的生成树。

第二章求最短路径的算法及应用,2.1求最短路2.2服务点设置间题1求图的中心2.3服务点设置间题2求图的P中心2.4服务点设置间题3求图的中央点,2.1求最短路,一、什么是最短路问题：

1.求有向图（图中从一个顶点连到相邻顶点的边有方向性）的最短路问题：

设G=（V,A）是一个有向图，它的每一条弧Ai都有一个非负的长度L（Ai），在G中指定一个顶点Vs，要求把从Vs到G的每一个顶点Vj的最短有向路找出来（或者指出不存在从Vs到Vj的有向路，即Vs不可达Vj,2.1求最短路,2.求无向图（图中连接两个顶点的边无方向性）的最短路问题：

设G=（V,E）是一个无向图，它的每一条边ei都有一个非负长度L（ei）。

在G中指定一个顶点Vs，要求把从Vs到G的每一个顶点Vs的最短无向路找出来（或者指出不存在从Vs到Vj的无向路，即Vs不可达Vj。

2.1求最短路,二、求最短有向路的标号法所谓标号，是指与图的每一个顶点对应的一个数字。

设:

b（j）：

顶点Vj的标号，代表的是Vs到Vj的最短的长度。

Vj已标号则意味着Vs到Vj的最短路以及这条路径的长度已经求出。

显然初始时b（s）=0。

l（i,j）：

弧（Vi,Vj）的非负长度。

K（i,j）：

当前有向路加入弧（Vi，Vj）后，Vs到Vj的有向路长度。

2.1求最短路,标号法的算法流程如下：

2.1求最短路,标号法通用于有向、无向图。

2.1求最短路,实例：

渡河问题。

一个人带了一只狼、一只羊和一裸白菜想要过河，河上有一只独木船，每次除了人以外，只能带一样东西。

另外如果人不在旁时狼就要吃羊，羊就要吃白菜。

问应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东西都带过河，在河上来回的次数又最少?

分析：

设变量M代表人，W代表狼，S代表羊，V代表白菜，代表空，什么都没有。

开始时设人和其它三样东西在河的左岸，这种情况用MWSV表示。

2.1求最短路,用一个集合表示左岸的所有可能情况。

很显然，可能出现的情况有16种:

剔除下述6种可能发生狼吃羊、羊吃白菜的情况:

2.1求最短路,构造一个图G，它的顶点就是剩下的10种情况。

G中的边是按下述原则来连的:

如果经过一次渡河，情况甲可以变成情况乙，那么就在情况甲与情况乙之间连一条边。

2.1求最短路,作了图G以后，渡河的问题就归结为下述问题了:

在G中找一条连接顶点MWSV与，并且包含边数最少的路。

如果设G中各边的长度都是1，那么也可以把渡河间题归结为:

“找一条连接MWSV与的最短路”。

最终问题归结为求最短路径问题。

第三章求最小生成树,3.1求无向图的最小生成树3.2求有向图的最小树形图,3.1求无向图的最小生成树,一、最小生成树的由来设G=V,E是一个无向图，如果T=V,E1是由G的全部顶点及一部分边组成的子图并且T是树（连通、没有圈的图），则称T是G的一个生成树。

一个连通图G一般有许多种生成树。

现在考虑一个连通图G=V,E，它的每一条边Ej，有一个长度L（Ej）0。

这时对于G的任意一个生成树T，我们把属于T的各条边的长度之和称为T的长度，记作L（T）。

3.1求无向图的最小生成树,一、最小生成树的由来下图中，T1和T2是G的生成树，L（T1）=22,L（T2）=17,3.1求无向图的最小生成树,一、最小生成树的由来最小生成树问题：

如何从G的所有生成树中，找出长度最小的生成树。

这个问题即所谓最小生成树间题。

3.1求无向图的最小生成树,二、最小生成树的计算一开始，先将G图中的边都去掉，只留下孤立的顶点，这个图即为G图最初的生成子图G1。

然后逐步地将当前最小边e1加上去，每次加的时候，要保持“没有圈”的性质，在加了N-1条边（N是顶点个数）后，G1便成为所要求的最小生成树了。

3.1求无向图的最小生成树,二、最小生成树的计算算法步骤如下：

第四章图的连通性,4.1连通性的基本概念和定义4.2深度优先搜索（dfs）4.3求割顶和块4.4求极大强连通子图4.5求最小点基4.6可靠通讯网的构作,4.1连通性的基本概念和定义,在无向图G中，如果从顶点V到顶点V有路径，则