《创新设计》同步人教A版选修21 22第二章 221Word文件下载.docx
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由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即（a－c）2＝0，
从而a＝c，所以A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝，
所以△ABC为等边三角形．
反思与感悟 综合法的证明步骤如下：
（1）分析条件，选择方向：
确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
（2）转化条件，组织过程：
将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
跟踪训练1 在△ABC中，＝，证明：
B＝C.
证明 在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.
于是sinBcosC－cosBsinC＝0，
即sin（B－C）＝0，因为－π<
B－C<
π，
从而B－C＝0，所以B＝C.
探究点二 分析法
思考1 回顾一下：
基本不等式≥（a>
0，b>
0）是怎样证明的？
答 要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证（－）2≥0，
因为（－）2≥0显然成立，所以原不等式成立．
思考2 证明过程有何特点？
答 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件．
小结 分析法定义：
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止，这种证明方法叫做分析法．
思考3 综合法和分析法的区别是什么？
答 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；
分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．
例2 求证：
＋<
2.
证明 因为＋和2都是正数，
所以要证＋<
2，只需证（＋）2<
（2）2，
展开得10＋2<
20，只需证<
5，只需证21<
25，
因为21<
25成立，所以＋<
2成立．
反思与感悟 当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．
跟踪训练2 求证：
－<
－（a≥3）．
证明 方法一 要证－<
－，
只需证＋<
＋，
只需证（＋）2<
（＋）2，
只需证2a－3＋2<
2a－3＋2，
只需证<
，
只需证0<
2，而0<
2显然成立，
所以－<
方法二 ∵＋>
∴<
∴－<
－.
探究点三 综合法和分析法的综合应用
思考 在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？
答 对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；
对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；
再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P⇒Q，则结论得证．
例3 已知α，β≠kπ＋（k∈Z），且
sinθ＋cosθ＝2sinα， ①
sinθcosθ＝sin2β.②
求证：
＝.
证明 因为（sinθ＋cosθ）2－2sinθcosθ＝1，
所以将①②代入，可得
4sin2α－2sin2β＝1.③
另一方面，要证＝，
即证＝，
即证cos2α－sin2α＝（cos2β－sin2β），
即证1－2sin2α＝（1－2sin2β），
即证4sin2α－2sin2β＝1.
由于上式与③相同，于是问题得证．
反思与感悟 用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：
跟踪训练3 若tan（α＋β）＝2tanα，求证：
3sinβ＝sin（2α＋β）．
证明 由tan（α＋β）＝2tanα
得＝，
即sin（α＋β）cosα＝2cos（α＋β）sinα.①
要证3sinβ＝sin（2α＋β），
即证3sin[（α＋β）－α]＝sin[（α＋β）＋α]，
即证3[sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα]
＝sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα，
化简得sin（α＋β）cosα＝2cos（α＋β）sinα.
这就是①式．所以，命题成立．
1．已知y>
x>
0，且x＋y＝1，那么（ ）
A．x<
<
y<
2xyB．2xy<
x<
y
C．x<
2xy<
yD．x<
答案 D
解析 ∵y>
0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，
则＝，2xy＝，∴x<
y，故选D.
2．欲证－<
－成立，只需证（ ）
A．（－）2<
（－）2
B．（－）2<
C．（＋）2<
（＋）2
D．（－－）2<
答案 C
解析 根据不等式性质，a>
b>
0时，才有a2>
b2，
∴只需证：
只需证：
（＋）2<
（＋）2.
3．求证：
＋＋<
解 因为＝logab，所以左边＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19（5×
32×
23）＝log19360.
因为log19360<
log19361＝2，
所以＋＋<
4．已知＝1，求证：
cosα－sinα＝3（cosα＋sinα）．
证明 要证cosα－sinα＝3（cosα＋sinα），
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tanα＝3（1＋tanα），只需证tanα＝－，
∵＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，
即2tanα＝－1.∴tanα＝－显然成立，
∴结论得证．
[呈重点、现规律]
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；
分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.
一、基础过关
1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若a>
b，则ac2>
bc2
B．若>
，则a>
b
C．若a3>
b3且ab<
0，则>
D．若a2>
b2且ab>
0，则<
解析 对于A：
若c＝0，则A不成立，故A错；
对于B：
若c<
0，则B不成立，B错；
对于C：
若a3>
0，则，所以>
，故C对；
对于D：
若，则D不成立．
2．A、B为△ABC的内角，A>
B是sinA>
sinB的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析 由正弦定理＝＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sinA>
0，sinB>
0，∴sinA>
sinB⇔2RsinA>
2RsinB⇔a>
b⇔A>
B.
3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l⊥m；
④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；
若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有（ ）
A．1≤ab≤B．ab<
1<
C．ab<
1D.<
ab<
1
解析 因为a≠b，故>
ab.
又因为a＋b＝2>
2，
故ab<
1，＝＝2－ab>
1，
即>
1>
5．已知a，b为非零实数，则使不等式：
＋≤－2成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．ab>
0B．ab<
C．a>
0，b<
0D．a>
解析 ∵与同号，由＋≤－2，知<
0，<
0，
即ab<
0.又若ab<
0.
∴＋＝－
≤－2＝－2，
综上，ab<
0是＋≤－2成立的充要条件，
∴a>
0是＋≤－2成立的一个充分而不必要条件．
6．要证明＋<
2，可选择的方法有很多，最合理的应为________．
答案 分析法
7．设a≥b>
3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
证明 方法一 3a3＋2b3－（3a2b＋2ab2）
＝3a2（a－b）＋2b2（b－a）＝（3a2－2b2）（a－b）．
因为a≥b>
0，所以a－b≥0,3a2－2b2>
从而（3a2－2b2）（a－b）≥0，
所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
方法二 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，
只需证3a2（a－b）－2b2（a－b）≥0，
只需证（3a2－2b2）（a－b）≥0，
∵a≥b>
0，∴a－b≥0,3a2－2b2>
2a2－2b2≥0，
∴上式成立．
二、能力提升
8．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝0，abc>
0，则＋＋的值（ ）
A．一定是正数B．一定是负数
C．可能是0D．正、负不能确定
解析 ∵（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）＝0，
又abc>
0，∴a，b，c均不为0，∴a2＋b2＋c2>
∴ab＋bc＋ca<
0，∴＋＋＝<
9．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
答案 a>
c>
解析 ∵a2－c2＝2－（8－4）＝4－6＝－>
0，∴a>
c.∵＝＝>
1，∴c>
b.
10．已知p＝a＋（a>
2），q＝2－a2＋4a－2（a>
2），则p、q的大小关系为________．
答案 p>
q
解析 p＝a－2＋＋2≥2·
＋2＝4，－a2＋4a－2＝2－（a－2）2<
2，∴q
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