微积分第三章答案Word文件下载.docx
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证明：
设f（x）?
a0x4?
a4，f（x）?
0的四个实根分别为x1,x2,x3,x4，且x1?
x2?
x4，则函数f（x）在[xi,xi?
1]（i?
1,2,3）上满足罗尔定理的条件，则在 （xi,xi?
1）内至少存在一点?
i，使得f?
i）?
0。
这说明方程4a0x3?
0至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只有3个实根，所以结论得到证明。
5.设f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f
（1）?
0，证明：
存在?
（0,1）， 使得 f?
f（?
构造辅助函数F（x）?
xf（x），而F（x）?
xf（x）满足罗尔定理的条件，所以有在（0,1），至少存在一点?
，f（?
f?
0即f?
6.试用拉格朗日中值定理证明：
sinx2?
sinx1?
x1；
当x?
0时， f（?
x?
ln（1?
x）?
x。
1?
x解：
sinx，则f（x）在区间（x1,x2）上满足拉格朗日中值定理，则有 sinx1?
sinx2sinx1?
sinx2?
cos?
?
（x1,x2），又因为cos?
1，则?
1， x1?
x2x1?
x2sinx1?
x1?
x2。
设f（x）?
x），则f（x）在区间（0,x）上满足拉格朗日中值定理，则有 ln（1?
x）1111ln（1?
1，?
1，则?
（0,x），又因为 1?
xx1?
即 x?
x1?
7.证明等式：
arctanx?
arccotx?
2。
arccotx，则有f?
（x）?
（arctanx?
arccotx）?
0，所以f（x）?
c，代入x?
0，得到arctanx?
8.设f（x）在[1,2]上具有二阶导数f?
（x），且f
（2）?
若 F（x）?
（x?
1）f（x）。
证明：
至少存在一点?
（1,2），使得F?
因为F
（1）?
F
（2）?
0，在[1,2]上应用罗尔定理，有F?
1）?
0，又因为F?
（1）?
0，所以在[1,?
1]上应用罗尔定理，有F?
0，[1,?
1]?
[1,2]。
9.设f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，证明：
在（a,b）内存在点?
和?
，使得 f?
a?
bf?
）。
2?
构造辅助函数g（x）?
x2，f（x）与g（x）在（a,b）内满足柯西中值定理，即有 f（b）?
f（a）f?
）f（b）?
f（a），?
（a,b）?
22?
g（b）?
g（a）g（?
）b?
a而f（x）在（a,b）内满足拉格朗日中值定理，所以f（b）?
f（a）?
）（b?
a），即f?
a?
习题3-2 1.用洛必达法则求下列极限：
x3?
3x?
2sinaxx?
sinxlim；
lim；
lim3；
0sinbxx?
0x?
1x?
1x3ln（x?
）（lnx）tanx2；
lim；
lim?
tanxxx?
tan3xx?
2221?
limxex；
（8）limxcotx;
lim（secx?
tanx）；
022x?
21x1tanx?
）；
lim?
x；
limxx；
lim（x?
0lnx1x11?
xlim（1?
sinx）;
（14）limxx?
1 解：
；
limx?
0（sinbx）?
0bcosbx0bx?
sinx（x?
sinx）?
1?
cosxsinx10lim?
lim?
；
332x?
00x（x）?
3x6x6；
0x3?
2（x3?
2）?
3x2?
36x3lim32?
lim32?
lim2?
1（x?
13x?
2x?
16x?
22；
lim?
3；
?
tan3x?
cosxsin3x?
cosx?
sinx?
2222；
x（x）?
22lnx?
4limlnx?
0；
1x2xln（x?
）（ln（x?
））?
cos2x?
22；
?
tanx（tanx）x?
222x?
2112?
1；
limx2ex?
0e?
01x?
0x2x?
0x2ex（?
22）3x?
3x；
limxcotx?
1；
tanx；
lim（secx?
tanx）?
lim[x?
21sinx1?
]?
sinxcosxcosxx?
cosxx?
x1xlnx?
1）lnx?
1lnx（x?
1）lnxlnx?
xxlnxlnx?
11?
?
1xlnx?
1lnx?
22 lim（；
limlnxtanxlimtanxlnxlnx?
0cotxlimsin2xxx?
0?
lim limx?
0tanx?
ex?
e?
e0?
；
01xlimlnxx?
elnxx?
xlim?
e1x?
lim（1?
01x1limln（1?
sinx）xx?
0lim1?
xlnxlimxln（1?
sinx）1?
0limln（1?
sinx）x?
sinxcosx?
e；
；
limxx?
e11?
limlnxxx?
elim?
xl2.验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出。
1x；
limx?
sinx。
limx?
0sinxxx2sin解：
用洛必达法则求：
11112xsin?
x2cos（?
2）x?
limxxx?
lim（2xsin1?
cos1），求不出limx?
0sinxx?
0cosxxx1x2sinx?
xsin1?
limxsin1?
用一般的方法：
0sinxxx?
0xx2sin用洛必达法则求：
limx?
lim（1?
cosx），求不出 x?
x1用一般的方法：
sinxsinx?
1。
xx3.设f（x）在x?
0处二阶可导，且f（0）?
0，试确定a的值使g（x）在x?
0处可导，并求g?
（0），其中 ?
f（x）x?
g（x）?
x x?
a解：
因为函数f（x）在x?
0处二阶可导，则函数在x?
0处一定连续，即有 limf（x）?
f（0）?
0， x?
0又因为函数g（x）在x?
0处可导，所以函数在x?
0处也一定连续，即有 limg（x）?
g（0）,limx?
0f（x）f?
limf?
ax?
0x1根据导数的定义以及洛必达法则，有 f（x）?
ag（x）?
g（0）f（x）?
ax g?
（0）?
lim2x?
0xxx
f（?
0,f（0）?
根据零点定理，f（x）在内有一零点，另一方面，对于 任意实数x，有f?
5x4?
0，所以f（x）在（?
）内单调增加，因此，曲线 y?
f（x）与x轴有且只有一个实根。
5.求下列函数的的凹凸区间以及拐点：
y?
3x4?
4x3?
y?
9；
xex；
x）；
y?
解：
函数的定义域为（?
） 322又因为y?
12x?
12x,y?
36x?
24x?
36x（x?
0，得到x?
0,x?
2xarctanx；
.y?
e21?
x2323在（?
0）内，y?
0，所以函数在此区间上是凹的，在（0,）内，y?
0，所以函数在此区间上是凸的。
在（,?
）内，y?
0所以函数在此区间上是凹的。
且点（0,1）和点（,2323211）是曲线的拐点。
327 函数的定义域为（?
因为y?
112，易见函数在x?
9处不可导。
y?
5333（x?
9）29（x?
9）当x?
9时，y?
0，曲线是凸的；
当x?
0曲线是凹的。
点（9,4）为曲线的拐点。
函数的定义域为（?
因为y?
xe,y?
e（x?
0，得x?
当x?
2时，y?
点（?
2,?
2e）为曲线的拐点。
函数的定义域为（?
1,?
2xxx11,y?
2x?
1（1?
x）所以当x?
1时，y?
） 2（1?
x2）4x（x2?
3）又因为y?
2,y?
3,x?
323（x?
1）（1?
x）在（?
3）内，y?
0，所以函数在此区间上是凸的在（3,0）内，y?
0，所以函数在此区间上是凹的，在（0,3）内，y?
在（3,?
且点（?
3,?
33）,（0,0）,（3,）是曲线的拐点。
22 函数的定义域为（?
earctanxearctanx（1?
2x）1x?
因为y?
2，得。
0222x?
x）1arctan1112）为曲当x?
时，y?
点（,e222线的拐点。
6.利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：
1nx?
yn（x?
yn）?
（） （x?
0,y?
0x,?
y,n?
122x?
ycosx?
cosy?
（,。
）] cos [x,y?
2222 证明：
作辅助函数f（t）?
t,t?
（0,?
）当n?
1时，f?
（t）?
ntn?
1n,f?
n（n?
1）tn?
2?
0，所以f（t）在（0,?
）内是凹的。
（）22。
凹性
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