河南省洛阳市学年高二下学期期中考试理科数学试题Word版含答案.docx

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河南省洛阳市学年高二下学期期中考试理科数学试题Word版含答案

河南省洛阳市2020-2021学年高二下学期期中考试

理科数学试题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题

1．一次竞赛考试，老师让学生甲､乙､丙､丁预测他们的名次.学生甲说：

丁第一；学生乙说：

我不是第一；学生丙说：

甲第一；学生丁说：

甲第二.若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

2．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得．类比上述过程，则（）

A．3B．C．6D．

3．设函数在上可导，则等于（）

A．B．C．D．以上都不对

4．展开式中的常数项为（）

A．B．C．D．

5．已知函数满足，则（）

A．6B．7C．-6D．-7

6．已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（）

A．B．C．D．

7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

8．已知函数，则不等式的解集为（）

A．B．

C．D．

【答案】A9．已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（）

A．B．

C．D．

10．平面区域是由，以及轴围成的封闭图形，图中阴影部分是由和直线围成的，现向区域内随机投掷一点，则点落在阴影区域内的概率为（）

A．B．C．D．

11．已知是定义在上的奇函数，其导函数为且当时，，则不等式的解集为（）

A．B．

C．D．

12．已知函数的导函数为，记，

．若，则（）

A．B．C．D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

13．某班名同学去参加个社团，每人只参加个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有_____种．（用数字填写答案）

14．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项数是_______

15．已知函数，其中为函数的导数，则_________

16．从个男生和个女生（）中任选个人当班长，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同，如果的概率和的概率相同，则可能为__________.

三、解答题

17．已知的一个极值点为2.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最值.

18．盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.

（1）全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？

（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？

（3）若取一个白球记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？

19．己知函数且曲线在点处的切线方程为．

（1）求实数a，b的值及函数的单调区间；

（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．

20．设点P在曲线y＝x2上，从原点向A（2,4）移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.

（1）当S1＝S2时，求点P的坐标；

（2）当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．

20．下面四个图案，都是由小正三角形构成.设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为.

（1）求出，，，；

（2）找出与的关系，并求出的表达式；

（3）求证：

.

22．已知函数（，为自然对数的底数），.

（1）若有两个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.

河南省洛阳市2020-2021学年高二下学期期中考试

理科数学试题参考答案

1-5CACCD6-10DBABA11-12BD

13、3614、15、216、

17、【详解】

（1）因为，所以，

因为的一个极值点为2，

所以，解得，

此时，，

令，得或，

令，得；令，得或，

故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.

（2）由

（1）知，在上为增函数，在上为减函数，

所以是函数的极大值点，又，，，

所以函数在区间上的最小值为，最大值为.

18、【详解】

（1）首先5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有种；

（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：

1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，共有种；

（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：

5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球，共有种.

19、【详解】

（1）代入得：

，所以切点为.

，

所以.

所以.

，

令，解得，（舍去）.

所以，，为减函数，

，，为增函数.

（2）因为恒成立，即恒成立，

化简为：

恒成立.

设，即即可.

，

因为在为增函数，且，

所以，，为减函数，

，，为增函数.

，即.

20、解析：

（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，），

直线OP的方程为y=tx

S1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，

因为S1=S2，，所以t=，点P的坐标为

（2）S=S1+S2==

S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=

因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0

所以，当t=时，Smin=，P点的坐标为．

21、【详解】

（1）由题意有：

，

，，

，﹒

（2）由题意及

（1）知，，

即.

∴

.

（3）∵，

所以对于任意，原不等式成立.

22、【详解】

（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根

由，知

有两个零点有两个相异实根.

令，则，

由得：

，由得：

，

在单调递增，在单调递减

，

又

当时，，当时，

当时，

有两个零点时，实数的取值范围为；

（2）当时，，

原命题等价于对一切恒成立

对一切恒成立.

令

令，，则

在上单增

又，

，使即①

当时，，当时，，

即在递减，在递增，

由①知

函数在单调递增

即

，

实数的取值范围为.