数学物理方程期末考试试题及答案文档格式.doc

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解：

设则方程变为：

，（8’）由边值条件可得：

由即得：

。

二、利用变量分离法求解方程。

（15分）

为常数

设代于方程得：

，（8’）

，

由边值条件得：

，

三．证明方程具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性.（15分）

证明：

设代入方程：

设都是方程的解设代入方程得：

由极值原理得唯一性得证。

（8’）由

，稳定性得证由知的唯一性稳定性得证。

四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题（15分）.

解：

设是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点格林函数：

方程的解：

五、证明下列初边值问题解的唯一性.（20分）

其中为的边界.

解:

设都是方程的解设代入方程得：

设

（10’）

，，由边值条件得：

（20’）

六考察边值问题

试证当充分负时,其解具有唯一性及在能量模意义下的稳定性.（20分）

证明：

在原方程两边同乘以然后在上积分：

由格林公式

由不等式

又故得估计：

设都是方程的解设代入方程并由估计式得：

唯一性得证

，稳定性得证。