福州市闽侯县高二下期末考试数学试题理含答案Word格式.docx

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A.B.C.D.

6.设有下面四个命题

若复数满足，则；

若复数，则.

其中的真命题为（）

A.B.C.D.

7.在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A．B．C．D．

8.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处切线的斜率为（）

A．-2B．-1C．1D．2

9.曲线：

在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则曲线C直线l，y轴围成的图形面积为（）

A．B．C．D．

10.已知双曲线上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点，记直线AC,BC的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为

A．B．CD.2

11.已知函数若对于任意两个不等实数，都有成立，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，，在接下来的三项式，，，依次类推，求满足如下条件的最小整数：

且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　）

A．110B．220C．330D．440

第Ⅱ卷非选择题

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13.如图，在直角坐标系中，将直线与直线及轴所围成的图形（阴影部分）绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积．据此类比：

将曲线（）与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积=　　　　．

14.计算，可以采用以下方法：

构造等式：

，两边对x求导，

得，在上式中令，

得．类比上述计算方法，

计算_________.

15.对于函数f（x）给出定义：

设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．

某同学经过探究发现：

任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”；

任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算

=　　．

16.如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=2，•=﹣3，设AD=a，BC=b，CD=c，则的最小值为　　．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（70分）

17.（12分）

已知命题p：

x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：

x∈B，且B={x|y=}．

（Ⅰ）若A∪B=R，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

18.（12分）

为了开一家汽车租赁公司，小王调查了市面上两种车型的出租情况，他随机抽取了某租赁公司的这两种车型各100辆，分别统计了每辆车在某一周内的出租天数，得到下表的统计数据：

Ａ型车

出租天数

1

2

3

4

5

6

7

车辆数

10

30

35

15

Ｂ型车

14

20

16

以这200辆车的出租频率代替每辆车的出租概率，完成下列问题：

（Ⅰ）根据上述统计数据，估计该公司一辆Ａ型车，一辆Ｂ型车一周内合计出租天数恰好为４天的概率；

（Ⅱ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，在不考虑其他因素的情况下，运用所学的统计学知识，你会建议小王选择购买哪种车型的车，请说明选择的依据．

19.（12分）

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是线段BC的中点．

（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；

（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．

20.（12分）

已知椭圆：

，四点，，，中恰有三点在椭圆上．

（1）求的方程；

（2）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：

过定点．

21.（12分）

已知函数．

（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；

（Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．

22.（10分）选修4-4极坐标与参数方程

已知直线l：

（其中t为参数，α为倾斜角）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．

（1）求C的直角坐标方程，并求C的焦点F的直角坐标；

（2）已知点P（1，0），若直线l与C相交于A，B两点，且=2，求△FAB的面积

理科数学答题卷

题号

8

9

11

12

答案

13.14.

15.16.

22.（10分）

理科数学参考答案

A

B

C

D

13.14.15.201616.2

17.（Ⅰ）由题意知，B={x|x2﹣3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}

∵A∪B=R，且

∴

∴1≤a≤2

即所求实数的取值范围是

（Ⅱ）由（Ⅰ）知B={x|x≤1或x≥2}，且

∵是的充分条件，

∴A⊆B

∴a+1≤1或a﹣1≥2

∴a≤0或a≥3

即所求实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥3}

18.（Ⅰ）设事件表示一辆A型车在一周内出租的天数恰好为i天;

事件表示一辆B型车在一周内出租的天数恰好为j天;

其中

则估计该公司一辆A型车,一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为:

估计该公司一辆A型车,一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率是．

（Ⅱ）设X为A型车出租的天数,则X的分布列为

X

P

0.05

0.10

0.30

0.35

0.15

0.03

0.02

设Y为B型车出租的天数,则Y的分布列为

Y

0.14

0.20

0.16

E（X）=1×

0.05+2×

0.10+3×

0.30+4×

0.35+5×

0.15+6×

0.03+7×

0.02=3.62,

E（Y）=1×

0.14+2×

0.20+3×

0.20+4×

0.16+5×

0.10+7×

0.05=3.48,

一辆A型车一周的平均出租天数为3.62,一辆B型车一周的平均出租天数为3.48,所以选择购买A型车.

19.

（1）因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC

所以分别以AB、AC、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），

因为D是BC的中点，所以D（1，2，0），…

因为，设平面A1C1D的法向量，

则，即，取，

所以平面A1C1D的法向量，而，

所以，

所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为；

…

（2），，

设平面B1A1D的法向量，

则，即，

取，平面B1A1D的法向量，

二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．…

20.

（1）根据椭圆对称性，必过、

又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点

将代入椭圆方程得

，解得，

∴椭圆的方程为：

．

（2）当斜率不存在时，设

得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．

当斜率存在时，设

联立，整理得

，

则

又

，此时，存在使得成立．

∴直线的方程为

当时，

所以过定点．

21.（I）当p=2时，函数，f

（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，

曲线f（x）在点（1，f

（1））处的切线的斜率为f'

（1）=2+2﹣2=2．

从而曲线f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）

即y=2x﹣2．

（II）．

令h（x）=px2﹣2x+p，

要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．

由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，

∴，只需，

即p≥1时，h（x）≥0，f'

（x）≥0

∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是上是减函数，

∴x=e时，g（x）min=2；

x=1时，g（x）max=2e，

即g（x）∈，

当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）＜0，

所以f（x）在x∈内是减函数．

当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈，所以h（x）＜0，

，此