方向导数案例教学Word文件下载.docx
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点P,记如果当时,比式
的极限存在,则称之为函数在点处沿方向的方向导数,记为即
由定义1知,方向导数就是函数沿指定方向对距离的变化率,当时,函数在处沿方向是增加的,时,函数在处沿方向是减小的.
对于一元函数来说,事实上也有方向导数,但仅有两种情形,即点x的左导数和右导数.
另一种表示方法
定义1’函数f在点沿指定方向的方向导数是极限（若
存在的话）
按照柯西的记法,把这个方向导数记成即
其中为方向上的单位向量.
特别,假若f是二元函数则它在点沿方向的方向导数为
其中为方向上的单位向量.
假若f是三元函数则
方向导数的几何意义
设的几何意义为图的曲面,当限制自变量沿方向l变化时,对应的空间点形成过l的铅垂平面与曲面的交线,（如图）.
这条交线在点M有一条半切线,记此半切线与方向l的
夹角为则由方向导数的定义可得
方向导数的存在性及其计算
定理如果函数在点处可微,则函数在点处沿任意方向的方向导数都存在,且有
（1）
其中是的方向余弦.
证明在射线l上取邻近的动点因函数在点处可微,所以,
其中由于
方向导数的存在性及其计算容易推广到三元函数.如果三元函数在点处可微,则在点处沿射线l的方向导数存在,并且
（2）
由上述公式
（1）及
（2）知,计算方向导数只需知道的方向及函数的偏导数.但是务必注意,若函数沿任意方向的方向导数都存在,其偏导数不一定存在;
反之,若偏导数存在,方向导数也不一定存在.
注定理的条件只是结论成立的充分条件,即函数在点不可微,函数在点P沿任意射线l的方向导数都可能存在.例如,二元函数
在点两个偏导数都不存在.当然不可微.
事实上,当时,
不存在极限,即函数在点不存在关于x的偏导数.同理可证,它在点
也不存在关于y的偏导数.
可是函数在点沿任意射线l方向导数都存在.
设在点沿任意射线l的方向余弦是在射线l上任意取一点
其中是点到原点的距离.根据方向导数的定义,有
即在点沿任意射线l方向导数都是1.
梯度
在空间的每一个点都可以确定无限多个方向,因此,一个多元函数在某个点也必然有无限多个方向导数.在这无限多个方向导数中,最大的一个（它直接反映了函数在这个点的变化率的数量级）等于多少?
它是沿什么方向达到的?
描述这个最大方向导数及其所沿方向的矢量,就是我们下面讨论的梯度.梯度是场论里的一个基本概念.所谓“场”,它表示空间区域上某种物理量的一种分布.从数学上看,这种分布常常表示为上的一种数值函数或向量函数.能表示为数值函数的场,称为数量场,如温度场、密度场等;
能表示为向量函数
的场,称为向量场,如引力场,流速场等.
为了引进梯度的概念,下面我们先来分析一下函数在点处方向导数的公式
它等于下述两个向量的数量积:
其中是方向的单位向量,与点的位置无关,依赖于点的位置,与的方向无关.所以方向导数的公式可以写成
这说明方向导数等于向量在上的投影.只要知道向量,任何方向的方向导数就都清楚了.可见,有着重要意义,在数量场（函数）的研究中十分重要.当与方向一致时,方向导数最大,等于所以,向量的方向是函数在点处变化率最大的方向,其模是这个最大的变化率.
定义2向量是函数在一点取得最大方向导数的方向,也是函数在该点处增长得最快的方向.将这个向量称为函数在一点的梯度（gradient）,记为,即
引用记号称为奈布拉（Nebla）算符,或称为向量微分算子或哈密顿（W.R.Hamilton）算子.则梯度可记为
利用梯度,方向导数可记为
由以上讨论可知,函数在某点的梯度是这样一个向量:
（1）它的方向是函数在该点取得最大方向导数的方向;
（2）它的模为方向导数的最大值:
由于沿梯度方向,函数增长得最快,因此沿梯度的相反方向,函数减少得最快;
（3）它的任一方向上的投影等于沿方向的变化率.
可见,梯度完全刻画了在任一点处的变化情况,因此成为描述数量场的特征的重要参量.
下面对梯度作出几何解释.函数的等高线为
上式两端微分,得
或
由于是曲线l切线方向,它平行于向量故上式表明,梯度
为等高线l上点P处的
法向量,并且从数值较低的等高线指向数
值较高的等高线（如图）.
为了更形象地理解梯度的特征,不妨
将函数的图形想象为一座山,
（如图）.如果你向梯度方向爬山,最陡,最
费力;
如果你总是沿着梯度垂直的方向走,
那么你一定上不了山,因为在这种情况下
你总是在一条等高线上走.
梯度的某些物理意义将在例题中说明.
梯度概念可以推广到三元函数或n元函数.以三元函数为例,设在点处可微分,则函数在该点的梯度为
.
它是函数在点P处取得最大方向导数的方向,最大方向导数为
函数在点P处沿方向的方向导数
与二元函数的梯度类似,我们可以对三元函数的梯度作出几何解释.
在函数的等量面
上任一点处,梯度总是垂直于该等量面,而且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面.
梯度运算可以看成一个映射它将一个数量函数映射成一个向量函数.
算子有以下性质:
（1）设则
其中称为拉普拉斯算子;
（2）线性性质:
（为常数）;
（3）
（4）f为可微函数.
3.例题
例1设一金属板上电压的分布为
问在点处,沿什么方向电压升高最快?
沿什么方向电压下降最快?
其速率各为多少?
沿什么方向电压变化最慢?
解由函数的梯度知,函数沿梯度的方向上升最快,沿与梯度相反的方向下降最快,沿与梯度垂直的方向变化最慢.因为电压分布v的梯度
=
所以,在处,沿的方向电压升高最快,沿的方向电压下降最快,其上升或下降的速率都为
因为与垂直的方向为故沿的方向或的方向电压变化最慢.
例5假设位于原点O处有一电量为Q的点电荷,其周围形成一电场,它在空间任一点处产生的电位为
其中是点M到原点O的距离,试求电场强度.
解根据物理学知识得
这说明点电荷形成的电场,其电位梯度与电场强度大小相等,方向相反.
这和下述物理意义是符合的:
电场强度指向电位减小最快的方向.
如果将电荷Q换成质点m,则在原点周围形成引力场,其位能为
则质点m在其周围形成的引力为
由此可知,位能梯度与引力的关系也是大小相等,方向相反.
例2假设在一间门窗关闭的房屋内,主人发现一只蚊子,接着他在屋内点燃了一支蚊香.以蚊香为原点建立空间直角坐标系,经过一段时间,测得屋内任意点处蚊香的烟气浓度为
如果蚊子此时位于点处,试问它将沿着哪个方向飞逃?
逃跑的路线又是什么?
解因为所以u在点处的梯度为
根据梯度的定义,是在点处烟气浓度u增加最快的方向,而
负梯度方向则是在点处烟气浓度减少最快的方向.蚊子虽然不懂梯度,但凭它的本能,它将沿负梯度方向飞逃.
假设蚊子逃跑的路线为空间曲线为参数,且当时,为使蚊子沿烟气浓度减少最快的方向飞逃,曲线上任一点处切线的方向向量与该点处烟气浓度u的负梯度的方向应该相同,即
其中是比例常数.由此可得
消去上述微分方程组中的并注意初始条件,则有
显然这两个方程都是一阶可分离变量方程,易知其解为
这就是蚊子逃跑路线.
例7设可导,其中为点处向径的模,试证
解
由的对等性,有
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