20VAR模型2Word文件下载.docx

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=0-I=

-I=1+2+…+k-I，

正确地估计协整参数矩阵的秩r非常重要。

若r被正确估计，则所有误差修正项都是平稳的。

那么模型（8.61）中的所有项都是平稳的。

参数估计量具有一致性。

任何高估或低估r值都会给参数估计与推断带来错误。

当低估r值时，将导致把余下的误差修正项并入模型的随机误差项Ut。

而高估r值将会把非协整向量带入协整参数矩阵中。

N´

1阶的Yt-k将由I（0）项（协整向量与变量的积）和I

（1）项（非协整向量与变量的积）混合而成，从而导致回归参数估计量及其相应统计量的非正态性分布。

当用t检验临界值进行显著性检验时就会得出错误结论。

估计的第一步是用样本数据Yt,（t=-k+1,-k+2,…,0,1,2,…,T）确定协整参数矩阵的秩r。

对于任何r£

N情形，模型（8.61）的零假设是

H0:

rk（）r或='

（8.62）

其中和是N´

r阶矩阵。

注意，这一步只能估计r（协整向量个数），无法估计和，因为对VAR模型（8.61）来说，和是“过多参数（over-parameterization）”的，无法与r同时估计。

接下来构造协整检验统计量LR，估计协整向量个数r，进而估计和。

把模型（8.61）看作数据生成系统，且0<

r<

N,Ut~IID（0,）成立，则对数似然函数是

logL（1,…,k-1,,|Y1,…,YT）=-

log

（2）-

log||-

（8.63）

利用上式求关于的集中对数似然函数（concentratedloglikelihoodfunction，见《计量经济分析》第274-277页），即把看作是给定值条件下的对数似然函数。

logL（1,…,k-1,|Y1,…,YT）=C0-

log|

|（8.64）

其中

=

为便于书写，给出如下符号，

Z0t=Yt

Z1t=Yt-1

Z2t=（Yt-1,Yt-2,…,Yt-（k-1）,Dt）'

=（1,2,…,k-1,）'

其中Z0t和Z1t是N´

1阶的，列向量Z2t是[N（k-1）+d]´

1阶的，是N´

[N（k-1）+d]阶的。

则（8.61）式

改写为，

Z0t=Z1t+Z2t+ut（8.65）

对集中对数似然函数（8.64）求极大，就是对

求极小。

则估计的OLS正规方程是

Z0t-Z1t-

Z2t）Z2t'

=0[对照

（x2t）=0]

是对（8.65）式中的估计。

破括号、移项上式变为，

Z0tZ2t'

）=

Z1tZ2t'

）+

Z2tZ2t'

）

则

=

）（

）-1-

）[

]-1（8.66）

用

的表达式代替（8.65）式中并整理，

=Z0t-Z1t–

）-1Z2t+

）-1Z2t

=Z0t-

）-1Z2t–[Z1t–

）-1Z2t]

（8.67）

现在考虑如下回归（目的是把上式表达为以为参数的回归式），

Z0t=Z2t+u0t（8.68）

则的OLS估计量

）-1（8.69）

若u0t的估计量用R0t表示，则

R0t=Z0t-

）-1Z2t（8.70）

考虑如下回归，

Z1t=Z2t+u1t（8.71）

）-1（8.72）

若u1t的估计量用R1t表示，则

R1t=Z1t-

）-1Z2t（8.73）

比较（8.67），（8.70）和（8.73）式。

]（

）-1Z2t]（8.67）

）-1Z2t（8.70）

（8.70）式等号右侧两项是（8.67）式等号右侧第1，2项。

（8.73）式等号右侧两项是（8.67）式等号右侧第3项中括号内部分。

用R0t和R1t分别代替（8.67）式中相应部分，

=R0t-R1t

整理上式，

R0t=R1t+

（8.74）

上式表示残差R0t对R1t回归。

R0t和R1t分别表示Z0t,Z1t在排除Z2t影响以后的残差（见（8.68）和（8.71）式）。

比较（8.74）和（8.65）式，

（8.74）式是排除Z2t影响以后的回归式。

因为对数似然函数对是非约束的，所以可先排除Z2t的影响，进一步求R0t和R1t的关于Z2t的集中对数似然函数log（）。

（把Z2t当作给定值的似然函数）

logL（）=C0-

logê

T-1

-R1t）（R0t-R1t）'

ê

（8.75）

其中C0是常量。

如果是非约束的，则很容易计算的估计值。

现在感兴趣的是在施加='

约束条件下求（8.61）式中的估计量。

把约束条件='

代入上式和（8.74）式，

LogL（,）=C0-

log|T-1

-'

R1t）（R0t-'

R1t）'

|（8.76）

R0t='

R1t+

（8.77）

先设定不变，通过R0t对'

R1t回归估计

，从而进一步求关于

的集中对数似然函数。

的OLS计算公式是，

（8.78）

定义残差R0t和Rkt的积矩量矩阵Sij如下，

Sij=T-1

i,j=0,1,（8.79）

则（8.78）式表达为，

=S01（'

S11）-1（8.80）

代替（8.76）式中的，得

'

R1t

的估计量，（8.76）式中绝对值部分，|T-1

|，的估计量表达为

|

|=|T-1

-

R1t）（R0t-

=|T-1

R0t'

-

R1tR0t'

-R0tR1t'

'

+

R1tR1t'

）'

|

=|S00-

S10-S01

S11

|（8.81）

的表达式（8.80）代换（8.81）式中的，得

|=|S00-S01（'

S11）-1'

S10|（8.82）

对集中对数似然函数（8.76）求极大，即对上式求极小。

这种极小化是通过对N´

r阶矩阵的取值来实现的。

依据拉奥（Rao,1973），对于矩阵A,B,C有如下关系存在。

=|A||C-B'

A-1B|=|C||A-BC-1B'

|（8.83）

移项

|A-BC-1B'

|=|C|-1|A||C-B'

A-1B|

令A=S00,B=S01,C='

S11,于是有

|=|S00-S01（'

S10|

=|'

S11|-1|S00||'

S11-'

S10S00-1S01|

S11|-1|S00||'

（S11–S10S00-1S01）|（8.84）

因为|S00|是常量，所以对关于的对数似然函数（8.76）求极大即是对|'

S11|-1|'

（S11–S10S00-1S01）|求极小（忽略S00）。

把上述求极小问题再转化为设定'

S11=I条件下，通过对|'

（S11–S10S00-1S01）|的极小化求的极大似然估计量。

根据典型相关理论，上述求极小问题可以转化为求广义特征值问题，

|S11–S10S00-1S01|=0,（8.85）

其中是关于S11的S10S00-1S01的特征值。

相应特征向量vi,i=1,…,r则构成，即=（v1v2…vr）（其中vi与r个最大的特征值相对应，而r值则由假设检验（8.62）确定。

）

求出的极大似然估计量

后，其他参数的极大似然估计量都可求出。

利用约束条件'

S11=I，由（8.80）式得，

=S01

（8.86）

=

（8.87）

由（8.82）式得，

=S00-S01

（

S11

）-1

S10=S00-S