复变函数复习资料Word文件下载.doc

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知识点：

利用定义。

解====。

2设，试证：

。

知识点：

复数，复数的模，共轭复数之间的关系。

证明：

由得，，==

3求的值。

初等函数的定义，函数值的计算，，

解：

===，

4证明。

证明。

复数模的计算，复数模共轭复数的关系。

==。

5设三点适合条件，试证明三点是一个内接于单位圆周的正三角形的顶点。

利用平行四边形公式。

由得，=

所以，同理，，所以三点是一个内接于单位圆周的正三角形的顶点。

6求极限。

这是型，用洛必达法则。

解=====3。

7试证明在平面上解析，并求导其导数。

利用柯西—黎曼条件，利用双曲函数的定义。

，，

，，以上四个偏导数在复平面上连续，且满足柯西—黎曼条件，在平面上解析，其导数为

8验证是平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使得。

调和函数的定义，调和函数和解析函数的关系。

解由得，，，

所以，所以是平面上的调和函数.由柯西—黎曼条件得=，所以，，从而，由得，所以。

9设函数在区域内解析，试证：

解析函数的导数的计算。

设函数，则

，

而解析函数的实部与虚部是调和函数，，所以有。

11试证在复平面上解析，并求其导数。

利用柯西—黎曼条件判断函数的可导性与解析性。

，，，，，以上四个偏导数在复平面上连续，且满足柯西—黎曼条件，所以在复平面上解析，其导数为。

12验证在右半平面内是调和函数，其中。

调和函数的定义，解析函数和调和函数的关系。

，，，于是，因此在右半平面内是调和函数。

13设函数在解析,并且它不恒为常数.证明：

若为的m阶零点的充要条件是为的m阶极点.知识点；

极点和零点的关系。

若为的m阶零点，则，其中在点的某个邻域内解析且，所以，在点的某个邻域内解析且，所以为的m阶极点.

14将在内展开成罗朗级数。

利用，以及逐项求导，将分式写成部分分式的和。

解设=

==

15将按的幂展开成幂级数。

把函数展开成泰勒级数和洛朗级数。

==，

16将在内展开成幂级数

解设=，

去分母得，取，得

取，得，取，得，所以==

17知识点：

利用留数定理或柯西积分公式。

解；

由得，这些点都是函数的一阶极点，都在内。

=而

所以=

18知识点：

由得，这是函数的二阶极点，而且在内。

=

而

=，所以=0.

19知识点；

令，则,

然后化成复变函数沿闭曲线的积分，用留数定理来计算。

解令，则，被积函数有两个一级极点，因为只有，所以只有在单位圆内

，所以=

20计算积分知识点：

被积函数有两个极点，这两个极点都在圆周内，因此=而==

同理，所以=.

21计算积分。

知识点：

利用留数定理计算实的积分。

被积函数是偶函数，所以，而=，于是有。

22计算积分.知识点：

利用留数定理

被积函数有两个极点，这两个极点都在圆周内

因此=，而==

而，所以=。

23计算积分知识点：

由得，这些点都是函数的一阶极点，而只有时奇点才在内。

=，而，，所以

24计算积分知识点：

被积函数有两个极点，只有极点在上半平面内

所以=，==

25求方程在内根的个数。

知识点，利用儒歇定理。

设，在在，内解析，在上连续，且在上，，，所以在上，，因此与，在内有相同的零点个数，所以在内有4个根。

26设在内解析,在边界上，证明在内存在一点使得。