1、 知识点:利用定义。解 =。2 设,试证:。知识点:复数,复数的模,共轭复数之间的关系。证明:由得,=3求的值。初等函数的定义,函数值的计算,解: = =,4 证明。证明。复数模的计算,复数模共轭复数的关系。 = =。5 设三点适合条件,试证明三点是一个内接于单位圆周的正三角形的顶点。利用平行四边形公式。由得,= 所以,同理,所以三点是一个内接于单位圆周的正三角形的顶点。6 求极限。这是型,用洛必达法则。解 =3。7 试证明在平面上解析,并求导其导数。利用柯西黎曼条件,利用双曲函数的定义。,以上四个偏导数在复平面上连续,且满足柯西黎曼条件,在平面上解析,其导数为8验证是平面上的调和函数,并求以
2、为实部的解析函数,使得。调和函数的定义,调和函数和解析函数的关系。解 由得, ,所以,所以是平面上的调和函数.由柯西黎曼条件得=,所以,从而,由得,所以。9 设函数在区域内解析,试证:解析函数的导数的计算。设函数,则,而解析函数的实部与虚部是调和函数,所以有。11试证在复平面上解析,并求其导数。利用柯西黎曼条件判断函数的可导性与解析性。,以上四个偏导数在复平面上连续,且满足柯西黎曼条件,所以在复平面上解析,其导数为。12验证在右半平面内是调和函数,其中。调和函数的定义,解析函数和调和函数的关系。, ,于是,因此在右半平面内是调和函数。13 设函数在解析,并且它不恒为常数.证明:若为的m阶零点的
3、充要条件是为的m阶极点. 知识点;极点和零点的关系。若为的m阶零点,则,其中在点的某个邻域内解析且,所以, 在点的某个邻域内解析且,所以为的m阶极点. 14将在内展开成罗朗级数。利用,以及逐项求导,将分式写成部分分式的和。解 设= =15 将按的幂展开成幂级数。把函数展开成泰勒级数和洛朗级数。= =,16将在内展开成幂级数解 设=, 去分母得 , 取,得 取,得, 取,得,所以=17 知识点:利用留数定理或柯西积分公式。解;由得,这些点都是函数的一阶极点,都在内。= 而所以=18 知识点:由得,这是函数的二阶极点,而且在内。=而 =,所以=0.19 知识点;令,则,然后化成复变函数沿闭曲线的积
4、分,用留数定理来计算。解 令,则,被积函数有两个一级极点, 因为只有,所以只有在单位圆内,所以=20 计算积分 知识点:被积函数有两个极点,这两个极点都在圆周内,因此=而=同理,所以=.21计算积分。 知识点:利用留数定理计算实的积分。被积函数是偶函数,所以,而=,于是有。22 计算积分. 知识点:利用留数定理被积函数有两个极点,这两个极点都在圆周内因此=,而=而,所以=。23计算积分 知识点:由得,这些点都是函数的一阶极点,而只有时奇点才在内。=, 而,所以24计算积分 知识点:被积函数有两个极点,只有极点在上半平面内所以=,=25求方程在内根的个数。知识点,利用儒歇定理。设,在在,内解析,在上连续,且在上,所以在上,因此与,在内有相同的零点个数,所以在内有4个根。26 设在内解析, 在边界上, 证明在内存在一点使得。