复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案Word下载.doc

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∴当时，，；

当时，，．

3.求下列复数的模和共轭复数

①解：

．

4、证明：

当且仅当时，z才是实数．

证明：

若，设，

则有　，从而有，即y=0

∴z=x为实数．

若z=x，x∈¡

，则．

∴．

命题成立．

5、设z,w∈£

，证明：

证明∵

6、设z,w∈£

，证明下列不等式．

并给出最后一个等式的几何解释．

证明：

在上面第五题的证明已经证明了．

下面证．

．从而得证．

∴

几何意义：

平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．

7.将下列复数表示为指数形式或三角形式

其中．

解：

∵．

8.计算：

（1）i的三次根；

（2）-1的三次根；

（3）的平方根.

⑴i的三次根．

∴．　

⑵-1的三次根

⑶的平方根．

．

9.设.证明：

∵　∴，即．

∴

又∵n≥2．∴z≠1

从而

11.设是圆周令

其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件.

如图所示．

因为={z:

=0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥．过C作直线平行，则有∠BCD=β，∠ACB=90°

故α-β=90°

所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°

12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.

（1）、argz=π．表示负实轴．

（2）、|z-1|=|z|．表示直线z=．

（3）、1<

|z+i|<

2

表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

（4）、Re（z）>

Imz．

表示直线y=x的右下半平面

5、Imz>

1，且|z|<

2．

表示圆盘内的一弓形域。

习题二

1.求映射下圆周的像.

设则

因为,所以

所以,

所以即，表示椭圆.

2.在映射下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或.

（1）；

（2）;

（3）x=a,y=b.（a,b为实数）

设

所以

（1）记，则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即

（2）记，则映成了w平面上扇形域，即

（3）记，则将直线x=a映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了

即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.

3.求下列极限.

（1）;

令,则.

于是.

（2）;

设z=x+yi，则有

显然当取不同的值时f（z）的极限不同

所以极限不存在.

（3）；

=.

（4）.

因为

所以.

4.讨论下列函数的连续性：

（1）

因为,

若令y=kx,则,

因为当k取不同值时，f（z）的取值不同，所以f（z）在z=0处极限不存在.

从而f（z）在z=0处不连续，除z=0外连续.

（2）

所以f（z）在整个z平面连续.

5.下列函数在何处求导？

并求其导数.

（1）（n为正整数）；

因为n为正整数，所以f（z）在整个z平面上可导.

（2）.

因为f（z）为有理函数，所以f（z）在处不可导.

从而f（z）除外可导.

（3）.

f（z）除外处处可导，且.

.所以f（z）除z=0外处处可导，且.

6.试判断下列函数的可导性与解析性.

（1）;

在全平面上可微.

所以要使得

，,

只有当z=0时,

从而f（z）在z=0处可导，在全平面上不解析.

只有当z=0时,即（0,0）处有,.

所以f（z）在z=0处可导，在全平面上不解析.

（3）;

所以只有当时，才满足C-R方程.

从而f（z）在处可导，在全平面不解析.

设，则

所以只有当z=0时才满足C-R方程.

从而f（z）在z=0处可导，处处不解析.

7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.

因为，所以,.

所以u,v为常数，于是f（z）为常数.

（2）解析.

设在D内解析,则

而f（z）为解析函数，所以

所以即

从而v为常数，u为常数，即f（z）为常数.

（3）Ref（z）=常数.

因为Ref（z）为常数，即u=C1,

因为f（z）解析，C-R条件成立。

故即u=C2

从而f（z）为常数.

（4）Imf（z）=常数.

与（3）类似，由v=C1得

因为f（z）解析，由C-R方程得,即u=C2

所以f（z）为常数.

5.|f（z）|=常数.

因为|f（z）|=C，对C进行讨论.

若C=0，则u=0,v=0,f（z）=0为常数.

若C0，则f（z）0,但，即u2+v2=C2

则两边对x,y分别求偏导数，有

利用C-R条件，由于f（z）在D内解析，有

所以所以

即u=C1,v=C2,于是f（z）为常数.

（6）argf（z）=常数.

argf（z）=常数，即,

于是

得

C-R条件→

解得，即u,v为常数，于是f（z）为常数.

8.设f（z）=my3+nx2y+i（x3+lxy2）在z平面上解析，求m,n,l的值.

因为f（z）解析，从而满足C-R条件.

9.试证下列函数在z平面上解析，并求其导数.

（1）f（z）=x3+3x2yi-3xy2-y3i

u（x,y）=x3-3xy2,v（x,y）=3x2y-y3在全平面可微,且

所以f（z）在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析.

.

（2）.

处处可微，且

所以,

所以f（z）处处可导，处处解析.

10.设

求证：

（1）f（z）在z=0处连续．

（2）f（z）在z=0处满足柯西—黎曼方程．

（3）f′（0）不存在．

证明.

（1）∵

而

∵

∴

同理

∴f（z）在z=0处连续．

（2）考察极限

当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有

当z沿实轴趋向于零时，z=x，有

它们分别为

∴满足C-R条件．

（3）当z沿y=x趋向于零时，有

∴不存在．即f（z）在z=0处不可导．

11.设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f（z）在区域D内解析，求证在区域D1内解析．

设f（z）=u（x,y）+iv（x,y），因为f（z）在区域D内解析．

所以u（x,y）,v（x,y）在D内可微且满足C-R方程，即．

，得

故φ（x,y）,ψ（x,y）在D1内可微且满足C-R条件

从而在D1内解析

13.计算下列各值

（1）e2+i=e2∙ei=e2∙（cos1+isin1）

（3）

（4）

14.设z沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f（z）=z+ez的极限．

令z=reiθ，

对于θ，z→∞时，r→∞．

故．

所以．

15.计算下列各值．

（1）

（3）ln（ei）=ln1+iarg（ei）=ln1+i=i

16.试讨论函数f（z）=|z|+lnz的连续性与可导性．

显然g（z）=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续．

设z=x+iy，

在复平面内可微．

故g（z）=|z|在复平面上处处不可导．

从而f（x）=|z|+lnz在复平面上处处不可导．

f（z）在复平面除原点及负实轴外处处连续．

17.计算下列各值．

18.计算下列各值

（3）（4）（5）

（6）

19.求解下列方程

（1）sinz=2．

　即

20.若z=x+iy，求证

（1）sinz=sinxchy+icosx∙shy

（2）cosz=cosx∙chy-isinx∙shy

（3）|sinz|2=sin2x+sh2y

（4）|cosz|2=cos2x+sh2y

21.证明当y→∞时，|sin（x+iy）|和|cos（x+iy）|都趋于无穷大．

而

当y→+∞时，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞．

当y→-∞时，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞．

同理得

所以当y→∞时有|cosz|→∞．

习题三

1.计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.

解设直线段的方程为,则.

故

2.计算积分，其中积分路径C为

（1）从点0到点1+i的直线段;

（2）沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段.

解

（1）设.

（2）设.

3.计算积分，其中积分路径C为

（1）从点-i到点i的直线段;

（2）沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;

（3）沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i.

（2）设.从到

（3）设.从到

6.计算积分,其中为.

解

∵在所围的区域内解析

从而

故

7.计算积分,其中积分路径为

（1）

（2）（3）

（1）在所围的区域内，只有一个奇点.

（2）在所围的区域内包含三个奇点.故

（3）在所围的区域内包含一个奇点,故

（4）在所围的区域内包含两个奇点,故

10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

解

（1）

（3）

（4）

（5）

（6）11.计算积分,其中为

（1）

（2）（3）

解

（1）

（2）

16.求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1.

（1）

（2）（3）

解

（1）

（3）

17.计算积分,其中积分路径为

（1）中心位于点,半径为的正向圆周

（2）中心位于点,半