复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案Word下载.doc

1、当时，；当时，3.求下列复数的模和共轭复数解：4、证明：当且仅当时，z才是实数证明：若，设，则有，从而有，即y=0z=x为实数若z=x，x，则命题成立5、设z,w，证明：证明6、设z,w，证明下列不等式并给出最后一个等式的几何解释证明：在上面第五题的证明已经证明了下面证 从而得证几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和7.将下列复数表示为指数形式或三角形式其中解：8.计算：（1）i的三次根；（2）-1的三次根；（3） 的平方根.i的三次根-1的三次根的平方根9.设. 证明：，即又n2 z1从而11.设是圆周令,其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件.如图所示因为=z: =0表

2、示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA过C作直线平行，则有BCD=，ACB=90故-=90所以在处切于圆周T的关于的充要条件是-=9012.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.（1）、argz=表示负实轴（2）、|z-1|=|z|表示直线z=（3）、1|z+i|Imz表示直线y=x的右下半平面5、Imz1，且|z|2表示圆盘内的一弓形域。习题二1. 求映射下圆周的像.设则 因为,所以所以 , 所以即，表示椭圆.2. 在映射下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或. （1）； （2）; （3） x=a, y=b.（a, b为实数）设所以（1） 记

3、，则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即（2） 记，则映成了w平面上扇形域，即（3） 记，则将直线x=a映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了 即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.3. 求下列极限. （1） ;令,则.于是.（2） ;设z=x+yi，则有显然当取不同的值时f（z）的极限不同所以极限不存在.（3） ；=.（4） .因为所以.4. 讨论下列函数的连续性：（1） 因为,若令y=kx,则,因为当k取不同值时，f（z）的取值不同，所以f（z）在z=0处极限不存在.从而f（z）在z=0处不连续，除z=0外连续.（2）所以f（z）在整个z平面连续.5. 下列函数在何

4、处求导？并求其导数.（1） （n为正整数）；因为n为正整数，所以f（z）在整个z平面上可导.（2） .因为f（z）为有理函数，所以f（z）在处不可导.从而f（z）除外可导.（3） .f（z）除外处处可导，且.所以f（z）除z=0外处处可导，且.6. 试判断下列函数的可导性与解析性.（1） ;在全平面上可微.所以要使得， , 只有当z=0时,从而f（z）在z=0处可导，在全平面上不解析.只有当z=0时,即（0,0）处有,.所以f（z）在z=0处可导，在全平面上不解析.（3） ;所以只有当时，才满足C-R方程.从而f（z）在处可导，在全平面不解析.设，则所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f（

5、z）在z=0处可导，处处不解析.7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.因为，所以,.所以u,v为常数，于是f（z）为常数.（2） 解析.设在D内解析,则而f（z）为解析函数，所以所以即从而v为常数，u为常数，即f（z）为常数.（3） Ref（z）=常数.因为Ref（z）为常数，即u=C1, 因为f（z）解析，C-R条件成立。故即u=C2从而f（z）为常数.（4） Imf（z）=常数.与（3）类似，由v=C1得因为f（z）解析，由C-R方程得,即u=C2所以f（z）为常数.5. |f（z）|=常数.因为|f（z）|=C，对C进行讨论.若C=0，则u=0,v=0,f（z）=0为常数

6、.若C0，则f（z） 0,但，即u2+v2=C2则两边对x,y分别求偏导数，有利用C-R条件，由于f（z）在D内解析，有所以 所以即u=C1,v=C2,于是f（z）为常数.（6） argf（z）=常数.argf（z）=常数，即,于是得 C-R条件 解得，即u,v为常数，于是f（z）为常数.8. 设f（z）=my3+nx2y+i（x3+lxy2）在z平面上解析，求m,n,l的值.因为f（z）解析，从而满足C-R条件.9. 试证下列函数在z平面上解析，并求其导数.（1） f（z）=x3+3x2yi-3xy2-y3iu（x,y）=x3-3xy2, v（x,y）=3x2y-y3在全平面可微,且所以f（

7、z）在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析.（2） .处处可微，且所以, 所以f（z）处处可导，处处解析.10. 设求证：（1） f（z）在z=0处连续（2）f（z）在z=0处满足柯西黎曼方程（3）f（0）不存在证明.（1）而同理f（z）在z=0处连续（2）考察极限当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有当z沿实轴趋向于零时，z=x，有它们分别为满足C-R条件（3）当z沿y=x趋向于零时，有不存在即f（z）在z=0处不可导11. 设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f（z）在区域D内解析，求证在区域D1内解析设f（z）=u（x,y）+iv（x,y），因为f（z）在区域D内解析所

8、以u（x,y）,v（x,y）在D内可微且满足C-R方程，即，得故（x,y）,（x,y）在D1内可微且满足C-R条件从而在D1内解析13. 计算下列各值（1） e2+i=e2ei=e2（cos1+isin1）（3）（4）14. 设z沿通过原点的放射线趋于点，试讨论f（z）=z+ez的极限令z=rei，对于，z时，r故所以 15. 计算下列各值（1）（3）ln（ei）=ln1+iarg（ei）=ln1+i=i16. 试讨论函数f（z）=|z|+lnz的连续性与可导性显然g（z）=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续设z=x+iy，在复平面内可微故g（z）=|z|在复平面上处处不可导

9、从而f（x）=|z|+lnz在复平面上处处不可导f（z）在复平面除原点及负实轴外处处连续17. 计算下列各值18. 计算下列各值（3）（4） （5）（6）19. 求解下列方程（1） sinz=2即20. 若z=x+iy，求证（1） sinz=sinxchy+icosxshy（2）cosz=cosxchy-isinxshy（3）|sinz|2=sin2x+sh2y（4）|cosz|2=cos2x+sh2y21. 证明当y时，|sin（x+iy）|和|cos（x+iy）|都趋于无穷大而当y+时，e-y0，ey+有|sinz|当y-时，e-y+，ey0有|sinz|同理得所以当y时有|cosz|习题

10、三1. 计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.解 设直线段的方程为,则. 故 2. 计算积分，其中积分路径C为（1） 从点0到点1+i的直线段;（2） 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段.解 （1）设. （2）设. 3. 计算积分，其中积分路径C为（1） 从点-i到点i的直线段;（2） 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;（3） 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i.（2）设. 从到（3） 设. 从到6. 计算积分,其中为.解 在所围的区域内解析从而故7. 计算积分,其中积分路径为（1） （2） （3） （1）在所围的区域内，只有一个奇点.（2）在所围的区域内包含三个奇点.故（3）在所围的区域内包含一个奇点,故（4）在所围的区域内包含两个奇点,故10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解 （1）（3） （4） （5） （6） 11. 计算积分,其中为（1） （2） （3） 解 （1） （2） 16. 求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1. （1） （2） （3） 解 （1） （3） 17. 计算积分,其中积分路径为（1）中心位于点,半径为的正向圆周（2） 中心位于点,半