21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α-β)=-5.
22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为-2.
23.设矩阵A=,已知α=是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为1.
24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为.
三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)
25.设A=,B=.求
(1)ABT;
(2)|4A|.
26.试计算行列式.
27.设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.
28.给定向量组α1=,α2=,α3=,α4=.
试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合;若是,则求出组合系数。
29.设矩阵A=.
求:
(1)秩(A);
(2)A的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.
31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x1,x2,x3)=,
并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)
32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆,且(E-A)-1=E+A+A2.
33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明
(1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解;
(2)η0,η1,η2线性无关。
答案:
一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)
1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D14.C
二、填空题(本大题共10空,每空2分,共20分)
15.616.17.418.–1019.η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)),c为任意常数
20.n-r21.–522.–223.124.
三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)
25.解
(1)ABT==.
(2)|4A|=43|A|=64|A|,而|A|=.所以|4A|=64·(-2)=-128
26.解==
27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而
(A-2E)-1=
所以B=(A-2E)-1A==
28.解一
所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为(2,1,1).
解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即
方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1).
29.解对矩阵A施行初等行变换
A=B.
(1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.
(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
(A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是)
30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=(2,-1,0)T,ξ2=(2,0,1)T.
经正交标准化,得η1=,η2=.λ=-8的一个特征向量为ξ3=,
经单位化得η3=所求正交矩阵为T=.
对角矩阵D=(也可取T=.)
31.解f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32
=(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32.
设,即,因其系数矩阵C=可逆,
故此线性变换满秩。
经此变换即得f(x1,x2,x3)的标准形y12-2y22-5y32.
四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)
32.证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,
所以E-A可逆,且
(E-A)-1=E+A+A2.
33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.
(1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2=b,
所以η1,η2是Ax=b的2个解。
(2)考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,
即(l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾。
所以
l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0.
所以η0,η1,η2线性无关。
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