大连海事电磁场理论课后习题答案67页精选文档Word文档下载推荐.docx

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1-3试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程

麦克斯韦方程组中微分形式的全电流定律为

对上式等号两边进行散度运算，由题1-2知，等号左边的散度为零，等号右边的散度亦应为零，即

把微分形式的高斯通量定理D代入上式，考虑到坐标变量和时间变量是相互独立的自变量，可得

1-4题图

上式移项即得式

（1）。

1-4参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为1和2，分界面两侧电场强度矢量E与单位法向矢量n21之间的夹角分别是1和2。

假设两种媒质分界面上的电荷面密度S0，试证明：

上式称为电场E的折射定律。

根据已知条件，由电位移矢量D的法向分量边界条件可得

D1nD2n1E1n2E2n

（2）

根据已知条件可知，分界面两侧电场强度矢量E的切向分量连续，即

E1tE2t（3）

从1-4题图可以看出

证毕。

1-5参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为1和2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量JS0，把图中的电场强度矢量E换成磁感应强度矢量B。

试证明：

上式称为磁场B的折射定律。

若1为铁磁媒质，2为非铁磁媒质，即1>

>

2，当190时，试问2的近似值为何？

请用文字叙述这一结果。

由磁感应强度矢量的法向分量边界条件可得

B1nB2n1H1n2H2n

（2）

根据已知条件可知，分界面两侧的磁场强度矢量H的切向分量相等，即

H1tH2t（3）

当1>

2时，必有tan1tan2；

而由于190，则必有2→0，即磁感线垂直于铁磁媒质的表面。

1-6已知电场强度矢量的表达式为

Eisin（tz）＋j2cos（tz）

（1）

通过微分形式的法拉第电磁感应定律

，求磁感应强度矢量B（不必写出与时间t无关的积分常数）。

参见题1-1式（3），先对电场强度矢量E进行旋度运算

将磁感应强度试量B对时间t进行积分，得

考虑到电场强度矢量E的Ez0，只有Ex和Ey两个坐标分量，且仅是（z,t）的函数，由题1-1式（4）可知

通过对时间t的积分，求出磁感应强度矢量B的两个坐标分量

于是可以写出磁感应强度矢量为

（6）

与上面直接用电场强度矢量E计算得到的结果相同。

1-7一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R，间距为d。

其间填充介质的介电常数。

如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I（t）I0sin（t）。

忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D。

解法

（一）

电容器的电容量为

两极板间的电压为

两极板间的电场为

两极板间的电位移为

（4）

电位移D对时间t的导数为

解法

（二）

电容器内部的位移电流等于外部的传导电流，即

把上式等号两边对时间t积分，可得

（7）

与解法

（一）的结果相同。

1-8在空气中，交变电场EjAsin（tz）。

试求：

电位移矢量D，磁感应强度矢量B和磁场强度矢量H。

由已知条件可知

ExEz0，EyAsin（tz）

（1）

对电场强度矢量E进行旋度运算（参见1-1题），得

由微分形式的法拉第电磁感应定律，对时间t进行积分，可得

由已知条件可知，电场强度矢量E的两个坐标分量EzEx0，只有Ey分量，且仅是（z,t）的函数，由题1-1式（4）应改写为

通过对时间t的积分，磁感应强度矢量B的坐标分量只有

即

由本构方程可求得另外两个矢量

1-9设真空中的磁感应强度为

试求空间位移电流密度的瞬时值。

由麦克斯韦方程知

，而真空中传导电流J=0，则位移电流为

求得

1-10试证真空中麦克斯韦方程对于下列变化具有不变性

式中，

为真空中的光速。

由于真空中，J=0，ρ=0，那么，E及B应满足的麦克斯韦方程可简化为

，即

将E′及B′代入该方程，即得

而

。

因此，上式可简化为

同理可证，

，即麦克斯韦方程对该变换具有不变性。

第2章习题答案

2-1参看图2-5-1，无限大导板上方点P（0,0h）处有一点电荷q。

z0半无限大空间的电场强度矢量E和电位移矢量D，以及导板上的面电荷密度S和总电荷量q。

用镜像点电荷－q代替无限大理想导板。

镜像点电荷－q和真实点电荷q到任意给定的观察点

（x,y,z）的距离分别为

任意给定的观察点（x，y，z）处的电位分布函数为

由

可得

因此，无限大导板上方半无限大空间（点电荷所在点除外）的电场强度矢量为

而电位移矢量为

导板表面任意位置（x,y,0）处电位移矢量D的法向分量就等于导板表面的面电荷密度：

在导板表面上

因此有

如果改为圆柱形坐标系，电荷分布函数可改写为

（8）

把电荷分布函数在无穷大导板表面上进行积分，可得

（9）

2-2参看图2-6-3，如果将4块导板的电位分别改为：

上板120V，左板40V，下板30V，右板90V。

按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：

（1）列出联立方程；

（2）用塞德尔迭代法求解；

（3）计算最佳加速因子；

（4）用超松弛迭代法求解；

（5）比较两种迭代法的结果和收敛速度。

两种迭代方法的迭代次数都取n4。

（1）列联立方程：

用消元法可求得准确解为

152.5，275，365，487.5

（2）

（2）塞德尔迭代法

初值选取平均值1234（120+40+30+90）/470（V）（3）

第1次迭代：

第2次迭代：

第3次迭代：

第4次迭代：

第5次迭代：

各磁迭代结果列在2-2题表中。

表中数据精确到小数点后一位：

152.5，275，365，487.5（9）

（3）计算最佳加速因子（取p4）

2-2题表1各次迭代值与差分方程的准确值、分离变量法计算值对照表

电位值

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

消元法准确值

分离变量

法计算值

111

52.5

50.31

51.95

52.36

52.46

212

70.63

73.91

74.72

74.93

74.98

75

321

60.63

63.91

64.73

64.93

64.98

65

422

85.31

86.93

87.36

87.57

87.49

87.5

（10）

（4）用超松弛迭代法求解，迭代公式如下：

（11）

代入加速因子，得（初值仍选取平均值）

（12）

第1次迭代

（13）

第2次迭代

（14）

第3次迭代

（15）

第4次迭代

（16）

各次迭代值列在下表之中：

2-2题表2各次迭代值与差分方程的准确值、分离变量法计算值对照表

51.24

49.90

52.57

52.49

70.33

74.25

75.00

75.0

59.61

64.30

64.99

65.00

65.0

86.06

87.22

87.52

87.50

（5）比较两种迭代法的结果和收敛速度：

超松弛迭代法第4次迭代结果与塞德尔迭代法第5次迭代结果相同。

2-3参看图2-7-1，如果平板电容其中电荷分布的线密度为0（14x2），其余条件相同，用矩量法（伽辽金法）求两导板之间的电位分布函数。

选择基函数为

fn（x）x（1xn）n1,2,3,…

（1）

根据已知条件可知，其边值问题的泊松方程和边界条件为

如果用直接积分法，并且由边界条件确定积分常数，则上面微分方程式的准确解为

当然，这么简单而且又有准确解的微分方程是用不着通过矩量法来求解的。

把简单问题作为例子的目的，只不过是为了便于比较而已。

题目中给出的基函数为

f1（x）x（1x），f2（x）x（1x2），f3（x）x（1x3）（3）

电位分布函数为

（x）k1x（1x）k2x（1x2）k3x（1x3）（4）

选权函数与基函数相同：

w1（x）x（1x），w2（x）x（1x2），w3（x）x（1x3）（5）

代数（矩阵）方程的系数和常数分别为

列出矩阵方程如下

于是可得到电位分布函数如下

本题若选取权函数为

w1（x）1，w2（x）x，w3（x）x2（10）

列出矩阵方程如下：

展开系数的结果相同，但计算过程要简单一些。

2-4参看例2-7-1以及该题示意图图2-7-1。

如果在该问题中选择权函数为

上式中，R是余数，由式（2-7-8）表示。

矩量法中，通过这种方式来选择权函数，又称为最小二乘法。

在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电