上海海事大学08-09数值分析试A卷答案Word文档格式.doc

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连续函数。

3．插值型数值求积公式

　　　的求积系数的表达式为＝则　　b-ａ　　　　

4．非线性方程f（x）=0的牛顿迭代法在单根附近具有　２阶的收敛速度。

5．f

（1）=1,f

（2）=4,f（3）=7,则f[1，2]=　　３　,f[1，2，3]=　　０　　

6Jacobi方法是求解　对称矩阵的全部特征值和特征向量的计算方法．

7．用松弛迭代法求解方程组时，松弛因子必须在　［０，２］　范围内．

二．如何对方程组

进行调整，使得用高斯-赛德尔迭代求解时收敛。

又如取初始向量为，用该方法求近似解，使得。

（８分）

解答：

调整第一与第三方程，既可得对角占优系数矩阵

，所以迭代收敛。

得

因为

，所以最后结果：

三．求在[0，1]上的一次最佳一致逼近多项式。

　　（８分）

解：

在[0，1]上不变号，故：

即故

、

四．设有一个求积公式

求使以上求积公式的代数精度尽可能高，并指出所达到的最高代数精度．

解

（1）当时，；

时，左=右

解得

当时，，

当时，，左右．

所求的具有最高代数精度为3．　　　　　　　　　

五．是任意首项系数为1的n+1次多项式，证明：

1）：

2）：

1），利用Lagrange插值余项

2）利用两边除

六．给定方程组

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　其中，，，且．证明

（1）①有唯一的．

（2）给定迭代格式

　　　　　　　　　，　　②

则有

　　　，　　　　　　

任取，则迭代格式②收敛．（１０分）

解

（1）只需证明①的齐次方程组

x=Bx③

只有零解,若③有非零解,则

两边取范数得

因为,得与条件矛盾,因而①有惟一解,即存在惟

一的使得=④（3分）

（2）将②和④相减得

两边取范数得

⑤（4分）

（3）由⑤递推得

对任意固定的有

因而迭代格式②是收敛的（4分）

七．证明：

左矩形求积公式。

设，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛

（１０分）

因为：

；

故：

=

又：

分划[a,b]得：

，k=1,2,…n

得复合公式：

所以：

=

其中：

，且

有：

八．试利用四点插值推导数值微分四点公式

，

其中（１０分）

解：

==

九．对初值问题写出以梯形公式所得近似解的表达式。

且当步长时，讨论的收敛性。

讨论绝对稳定性对步长的限制（１０分）

梯形公式为：

故：

，整理得：

。

设任给，，于是有

所以

所以对一切都成立

所以无限制。