人教版九年级数学下《第27章相似》专项训练含答案Word格式文档下载.docx
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CF=BF·
EC.
(第1题)
2.如图,已知△ABC的边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且AD=CE,DE交AC于点F,
试证明:
AB·
DF=BC·
EF.
(第2题)
三点找三角形相似法
3.如图,在▱ABCD中,E是AB延长线上的一点,DE交BC于F.
=.
(第3题)
4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°
,M为BC的中点,DM⊥BC交CA的延长线于D,交AB于E.
AM2=MD·
ME.
(第4题)
构造相似三角形法
5.如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意一点,AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N.
BP·
CP=BM·
CN.
(第5题)
等比过渡法
6.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE.
(1)△DEF∽△BDE;
(2)DG·
DF=DB·
(第6题)
7.如图,CE是Rt△ABC斜边上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BG⊥AP于点G,交CE于点D.
CE2=DE·
PE.
(第7题)
两次相似法
8.如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,∠ABC的平分线BE交AC于E,交AD于F.
(第8题)
9.如图,在▱ABCD中,AM⊥BC,AN⊥CD,垂足分别为M,N.求证:
(1)△AMB∽△AND;
(2)=.
(第9题)
等积代换法
10.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(第10题)
等线段代换法
11.如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点P是AD上一点,CF∥AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F,
BP2=PE·
PF.
(第11题)
12.已知:
如图,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
PD2=PB·
PC.
(第12题)
专训2 巧用“基本图形”探索相似条件
几何图形大多数由基本图形复合而成,因此熟悉三角形相似的基本图形,有助于快速、准确地识别相似三角形,从而顺利找到解题思路和方法.相似三角形的四类结构图:
1.平行线型.
2.相交线型.
3.子母型.
4.旋转型.
平行线型
1.如图,在△ABC中,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作ED∥BC交AB于点D.
(1)求证:
BC=BD·
AC;
(2)如果S△ADE=3,S△BDE=2,DE=6,求BC的长.
相交线型
2.如图,点D,E分别为△ABC的边AC,AB上的点,BD,CE交于点O,且=,试问△ADE与△ABC相似吗?
请说明理由.
子母型
3.如图,在△ABC中,∠BAC=90°
,AD⊥BC于点D,E为AC的中点,ED的延长线交AB的延长线于点F.求证:
旋转型
4.如图,已知∠DAB=∠EAC,∠ADE=∠ABC.
(1)△ADE∽△ABC;
专训3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系
判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一.由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法,由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法.
证明两线段的数量关系
证明两线段的相等关系
1.如图,已知在△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,直线AO与BC边交于点M,与DE交于点N.
BM=MC.
2.如图,一直线和△ABC的边AB,AC分别交于点D,E,和BC的延长线交于点F,且AECE=BFCF.
AD=DB.
证明两线段的倍分关系
3.如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,∠A=60°
,求证:
DE=BC.
4.如图,AM为△ABC的角平分线,D为AB的中点,CE∥AB,CE交DM的延长线于E.
AC=2CE.
证明两线段的位置关系
证明两线段平行
5.如图,已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点,连接CD,DE⊥CD,DE=CD,连接CE,AE.求证:
AE∥BC.
6.在△ABC中,D,E,F分别为BC,AB,AC上的点,EF∥BC,DF∥AB,连接CE和AD,分别交DF,EF于点N,M.
(1)如图①,若E为AB的中点,图中与MN平行的直线有哪几条?
请证明你的结论;
(2)如图②,若E不为AB的中点,写出与MN平行的直线,并证明.
证明两线垂直
7.如图,在△ABC中,D是AB上一点,且AC2=AB·
AD,BC2=BA·
BD,求证:
CD⊥AB.
8.如图,已知矩形ABCD,AD=AB,点E,F把AB三等分,DF交AC于点G,求证:
EG⊥DF.
专训4 相似三角形与函数的综合应用
解涉及相似三角形与函数的综合题时,由于这类题的综合性强,是中考压轴题重点命题形式之一,因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答.
相似三角形与一次函数
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A,点D的坐标为(0,1).
(1)求直线AD的解析式;
(2)直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点(不与点B重合),当△BOD与△BCE相似时,求点E的坐标.
相似三角形与二次函数
2.如图,直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C(1,0)三点.
(1)求抛物线对应的函数解析式;
(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线y=-x+3上有一点P,使△ABO与△ADP相似,求出点P的坐标.
3.如图,直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,过点B的抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于点D(3,-4).
(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式;
(2)在第一象限内的抛物线上,是否存在一点M,作MN垂直于x轴,垂足为点N,使得以M,O,N为顶点的三角形与△BOC相似?
若存在,求出点M的坐标;
若不存在,请说明理由.
相似三角形与反比例函数
4.如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3),双曲线y=(x>
0)经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.
(1)求k的值及点E的坐标;
(2)若点F是OC边上一点,且△FBC∽△DEB,求直线FB对应的函数解析式.
专训5 全章热门考点整合应用
本章主要内容为:
平行线分线段成比例,相似三角形的判定及性质,位似图形及其画法等,涉及考点、考法较多,是中考的高频考点.其主要考点可概括为:
3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧.
3个概念
成比例线段
1.下列各组线段,是成比例线段的是( )
A.3cm,6cm,7cm,9cm
B.2cm,5cm,0.6dm,8cm
C.3cm,9cm,1.8dm,6cm
D.1cm,2cm,3cm,4cm
2.有一块三角形的草地,它的一条边长为25m,在图纸上,这条边的长为5cm,其他两条边的长都为4cm,则其他两边的实际长度都是________m.
相似多边形
3.如图,已知∠1′=∠1,∠2′=∠2,∠3′=∠3,∠4′=∠4,∠D′=∠D,试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似,并说明理由.
位似图形
4.如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边放大到原来的2倍,记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a,b),求点B的坐标.
2个性质
平行线分线段成比例的性质
5.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°
,AB=8,AC=6.若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止,运动速度为每秒2个单位长度.过点D作DE∥BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒,AE的长为y.
(1)求出y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,△BDE的面积有最大值,最大值为多少?
相似三角形的性质
6.如图,已知D是BC边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与BA相交于点E,EC与AD相交于点F.
△ABC∽△FCD;
(2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.
1个判定——相似三角形的判定
7.如图,△ACB为等腰直角三角形,点D为斜边AB上一点,连接CD,DE⊥CD,DE=CD,连接AE,过C作CO⊥AB于O.求证:
△ACE∽△OCD.
8.如图,在⊙O的内接△ABC中,∠ACB=90°
,AC=2BC,过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D,垂足为点E.设P是上异于点A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,=,求PD的长.
2个应用
测高的应用
9.如图,在离某建筑物CE4m处有一棵树AB,在某时刻,1.2m的竹竿FG垂直地面放置,影子GH长为2m,此时树的影子有一部分落在地面上,还有一部分落在建筑物的墙上,墙上的影子CD高为2m,那么这棵树的高度是多少?
测宽的应用
10.如图,一条小河的两岸有一段是平行的,在河的一岸每隔6m有一棵树,在河的对岸每隔60m有一根电线杆,在有树的一岸离岸边30m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河的宽度.
1个作图——作一个图形的位似图形
11.如图,在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O为位似中心,把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向),画出△ABC的位似图形.
1个技巧——证明四条线段成比例的技巧
12.如图,已知△ABC,∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P,Q.
(1)求∠PAQ的度数;
(2)若点M为PQ的中点,求证:
PM2=CM·
BM.