求递推数列通项公式和求和的常用方法Word文档下载推荐.docx
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用归纳法求递推数列,首先要熟悉一般数列的通项公式,再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.
跟踪训练2.设
是正数组成的数列,其前
,并且对于所有自然数
与1的等差中项等于
与1的等比中项,求数列
三累加法:
利用
求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如
的递推数列通项公式的基本方法(
可求前
项和).
例三已知无穷数列
的的通项公式是
,若数列
满足
=1+
+
=
反思:
用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为
跟踪训练3.已知
求数列
通项公式.
四累乘法:
利用恒等式
求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:
的递推数列通项公式的基本方法(数列
项积).
例四已知
又有
1×
当
时
,满足
用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为
跟踪训练4.已知数列
.则
的通项公式是.
五构造新数列:
将递推公式
(
为常数,
)通过
与原递推公式恒等变成
的方法叫构造新数列.
例五已知数列
中,
求
【解析】:
求得
是首项为
公比为2的等比数列,即
.构造新数列的实质是通过
来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.
跟踪训练5.已知数列
求数列
六倒数变换:
将递推数列
取倒数变成
的形式的方法叫倒数变换.
例六已知数列
将
取倒数得:
是以
为首项,公差为2的等差数列.
倒数变换有两个要点需要注意:
一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了.
跟踪训练6.已知数列
小结:
求递推数列的通项公式的方法很多,以上只是提供了几种常见的方法,如果我们想在求递推数列中游刃有余,需要在平时的练习中多观察,多思考,还要不断的总结经验甚至教训.
参考答案:
1.证明:
由已知可得:
,当
时,
满足上式.
的通项公式
为常数,所以
为等比数列.
2.解:
由已知可求
猜测
.(用数学归纳法证明).
3.由已知
4.
时,
作差得:
5.
6.
数列
一、求递推数列通项公式
基础类型
类型1
解法:
把原递推公式转化为
,利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:
已知数列
。
解:
由条件知:
分别令
,代入上式得
个等式累加之,即
所以
类型2
,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:
由条件知
,分别令
个等式累乘之,即
又
例3:
已知
变式:
(2004,全国I,理15.)已知数列{an},满足a1=1,
(n≥2),则{an}的通项
由已知,得
,用此式减去已知式,得
当
,即
,将以上n个式子相乘,得
类型3
(其中p,q均为常数,
)。
解法(待定系数法):
把原递推公式转化为:
,其中
,再利用换元法转化为等比数列求解。
例4:
设递推公式
可以转化为
即
.故递推公式为
令
,则
且
.所以
为首项,2为公比的等比数列,则
所以
(2006,重庆,文,14)
在数列
中,若
,则该数列的通项
_______________
(key:
)
类型4
(或
其中p,q,r均为常数)。
解法:
一般地,要先在原递推公式两边同除以
,得:
引入辅助数列
(其中
),得:
再待定系数法解决。
例5:
在
两边乘以
得:
令
解之得:
所以
类型5递推公式为
(其中p,q均为常数)。
解(特征根法):
对于由递推公式
给出的数列
,方程
,叫做数列
的特征方程。
若
是特征方程的两个根,
时,数列
的通项为
,其中A,B由
决定(即把
和
,代入
,得到关于A、B的方程组);
,得到关于A、B的方程组)。
例6:
数列
:
,
解(特征根法):
的特征方程是:
又由
,于是
故
练习:
(2006,福建,文,22)
的通项公式;
(I)解:
类型6递推公式为
的关系式。
(或
消去
或与
进行求解。
例7:
前n项和
.
(1)求
的关系;
(2)求通项公式
(1)由
于是
(2)应用类型4(
))的方法,上式两边同乘以
由
.于是数列
是以2为首项,2为公差的等差数列,所以
类型7
这种类型一般是等式两边取对数后转化为
,再利用待定系数法求解。
例8:
已知数列{
}中,
两边取对数得
,再利用待定系数法解得:
类型8
这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为
例9:
已知数列{an}满足:
,求数列{an}的通项公式。
取倒数:
是等差数列,
(2006,江西,理,22)
a1=
,且an=
求数列{an}的通项公式;
(1)将条件变为:
1-
=
,因此{1-
}为一个等比数列,其首项为1-
,公比
,从而1-
,据此得an=
(n≥1)
类型9周期型
由递推式计算出前几项,寻找周期。
例10:
若数列
,若
的值为___________。
(2005,湖南,文,5)
=()
A.0B.
C.
D.
二、数列的求和
(1)公式法:
必须记住几个常见数列前n项和
;
;
10.(辽宁卷)已知等差数列
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)若a1与a5的等差中项为18,bn满足
,求数列的{bn}前n项和.
.(Ⅰ)解法一:
时,
是等差数列,
·
4分
解法二:
得
.·
(Ⅱ)解:
8分
得
即
所以数列
(2)分组求和:
如:
求1+1,
…,
…的前n项和(注:
)
(3)裂项法:
如
求Sn
常用的裂项有
(湖北卷)已知二次函数
的图像经过坐标原点,其导函数为
,数列
的前n项和为
,点
均在函数
的图像上。
(Ⅰ)、求数列
(Ⅱ)、设
是数列
的前n项和,求使得
对所有
都成立的最小正整数m;
(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得
a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.
又因为点
的图像上,所以
=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-
=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×
12-2=6×
1-5,所以,an=6n-5(
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知
故Tn=
(1-
).
因此,要使
)<
)成立的m,必须且仅须满足
≤
,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.
(4)错位相减法:
其特点是cn=anbn其中{an}是等差,{bn}是等比
求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n-1)xn-1注意讨论x,
(5)倒叙相加法:
等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。
如求证:
Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n—1)Cnn=(n+1)2n