求递推数列通项公式和求和的常用方法Word文档下载推荐.docx
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用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.
跟踪训练2.设
是正数组成的数列，其前
，并且对于所有自然数
与1的等差中项等于
与1的等比中项，求数列
三累加法：
利用
求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如
的递推数列通项公式的基本方法（
可求前
项和）.
例三已知无穷数列
的的通项公式是
，若数列
满足
=1+
+
=
反思:
用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为
跟踪训练3.已知
求数列
通项公式.
四累乘法:
利用恒等式
求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:
的递推数列通项公式的基本方法（数列
项积）.
例四已知
又有
1×
当
时
，满足
用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为
跟踪训练4.已知数列
.则
的通项公式是.
五构造新数列:
将递推公式
（
为常数，
）通过
与原递推公式恒等变成
的方法叫构造新数列.
例五已知数列
中,
求
【解析】:
求得
是首项为
公比为2的等比数列,即
.构造新数列的实质是通过
来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.
跟踪训练5.已知数列
求数列
六倒数变换：
将递推数列
取倒数变成
的形式的方法叫倒数变换.
例六已知数列
将
取倒数得:
是以
为首项,公差为2的等差数列.
倒数变换有两个要点需要注意:
一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了.
跟踪训练6.已知数列
小结:
求递推数列的通项公式的方法很多,以上只是提供了几种常见的方法,如果我们想在求递推数列中游刃有余,需要在平时的练习中多观察,多思考,还要不断的总结经验甚至教训.
参考答案:
1.证明：
由已知可得：
，当
时，
满足上式.
的通项公式
为常数,所以
为等比数列.
2.解:
由已知可求
猜测
.（用数学归纳法证明）.
3.由已知
4.
时,
作差得:
5.
6.
数列
一、求递推数列通项公式
基础类型
类型1
解法：
把原递推公式转化为
，利用累加法（逐差相加法）求解。
例1:
已知数列
。
解：
由条件知：
分别令
，代入上式得
个等式累加之，即
所以
类型2
，利用累乘法（逐商相乘法）求解。
例2:
由条件知
，分别令
个等式累乘之，即
又
例3:
已知
变式:
（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，
（n≥2），则{an}的通项
由已知，得
，用此式减去已知式，得
当
，即
，将以上n个式子相乘，得
类型3
（其中p，q均为常数，
）。
解法（待定系数法）：
把原递推公式转化为：
，其中
，再利用换元法转化为等比数列求解。
例4:
设递推公式
可以转化为
即
.故递推公式为
令
，则
且
.所以
为首项，2为公比的等比数列，则
所以
（2006，重庆,文,14）
在数列
中，若
，则该数列的通项
_______________
（key:
）
类型4
（或
其中p，q,r均为常数）。
解法：
一般地，要先在原递推公式两边同除以
，得：
引入辅助数列
（其中
），得：
再待定系数法解决。
例5:
在
两边乘以
得：
令
解之得：
所以
类型5递推公式为
（其中p，q均为常数）。
解（特征根法）：
对于由递推公式
给出的数列
，方程
，叫做数列
的特征方程。
若
是特征方程的两个根，
时，数列
的通项为
，其中A，B由
决定（即把
和
，代入
，得到关于A、B的方程组）；
，得到关于A、B的方程组）。
例6:
数列
：
，
解（特征根法）：
的特征方程是：
又由
，于是
故
练习:
（2006，福建,文,22）
的通项公式；
（I）解：
类型6递推公式为
的关系式。
（或
消去
或与
进行求解。
例7：
前n项和
.
（1）求
的关系；
（2）求通项公式
（1）由
于是
（2）应用类型4（
））的方法，上式两边同乘以
由
.于是数列
是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
类型7
这种类型一般是等式两边取对数后转化为
，再利用待定系数法求解。
例8：
已知数列｛
｝中，
两边取对数得
，再利用待定系数法解得：
类型8
这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为
例9：
已知数列｛an｝满足：
，求数列｛an｝的通项公式。
取倒数：
是等差数列，
（2006，江西,理,22）
a1＝
，且an＝
求数列｛an｝的通项公式；
（1）将条件变为：
1－
＝
，因此｛1－
｝为一个等比数列，其首项为1－
，公比
，从而1－
，据此得an＝
（n≥1）
类型9周期型
由递推式计算出前几项，寻找周期。
例10：
若数列
，若
的值为___________。
（2005，湖南,文，5）
=（）
A．0B．
C．
D．
二、数列的求和
（1）公式法：
必须记住几个常见数列前n项和
；
；
10．（辽宁卷）已知等差数列
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足
，求数列的{bn}前n项和.
.（Ⅰ）解法一：
时,
是等差数列,
·
4分
解法二：
得
.·
（Ⅱ）解：
8分
得
即
所以数列
（2）分组求和：
如：
求1+1,
…,
…的前n项和（注：
）
（3）裂项法：
如
求Sn
常用的裂项有
（湖北卷）已知二次函数
的图像经过坐标原点，其导函数为
，数列
的前n项和为
，点
均在函数
的图像上。
（Ⅰ）、求数列
（Ⅱ）、设
是数列
的前n项和，求使得
对所有
都成立的最小正整数m；
（Ⅰ）设这二次函数f（x）＝ax2+bx（a≠0）,则f`（x）=2ax+b,由于f`（x）=6x－2,得
a=3,b=－2,所以f（x）＝3x2－2x.
又因为点
的图像上，所以
＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－
＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×
12－2＝6×
1－5，所以，an＝6n－5（
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知
故Tn＝
（1－
）.
因此，要使
）<
）成立的m,必须且仅须满足
≤
，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
（4）错位相减法：
其特点是cn=anbn其中{an}是等差，{bn}是等比
求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+（2n－1）xn－1注意讨论x，
（5）倒叙相加法：
等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。
如求证：
Cn0+3Cn1+5Cn2+…+（2n—1）Cnn=（n+1）2n
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