最新精编高中人教A版选修11高中数学32立体几何中的向量方法第3课时公开课优质课教学设计Word格式文档下载.docx
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设计意图
一、复习引入
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.
2．平行与垂直关系的向量表示。
为学习新知识做准备.
二、探究新知
一、用向量处理平行问题
分析：
先复习共面向量定理。
要解决问题，可以考虑将向量
用向量
线性表示出来。
评注：
向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使
p=xa+yb.
利用共面向量定理可以证明线面平行问题。
本题用的就是向量法。
（图略）
分析：
面面平行
线面平行
线线平行。
由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。
用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。
本题选用了坐标法。
思考：
一般应如何建立空间直角坐标系？
二、用向量处理垂直问题
分析：
线面垂直
线线垂直。
本题若用一般法证明，容易证A’F垂直于BD，而证A’F垂直于DE，
或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。
例4，证明：
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（三垂线定理）
已知：
如图,OB是平面
的斜线，O为斜足，
，A为垂足，
求证：
证明：
例1是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理来证明。
同时介绍解决问题的向量法。
联系共线向量来理解。
例2是关于面面平行的问题，联系几何定理与向量平行。
同时介绍解决问题的坐标法。
例3是线面垂直问题，图形和例2一样是正方体，可进一步训练坐标法。
让学生体会坐标法的优势。
用向量法证明三垂线定理。
三、练习巩固
分别用向量法和坐标法解决以下问题：
向量法：
所以，结论成立。
坐标法：
（图略）
巩固知识，培养技能.
四、小结
利用向量解决平行与垂直问题
1．向量法：
利用向量的概念技巧运算解决问题。
2．坐标法：
利用数及其运算解决问题。
两种方法经常结合起来使用。
反思归纳
五、作业
1，直三棱柱
中，角ACB是直角，AC＝1，CB＝
，侧棱
=1，侧面
的两条对角线交点为D，
的中点为M，求证CD平面BDM。
2，课本p111第1、3题。
练习与测试：
（基础题）
1，直三棱柱ABC—A1B1C1中，若
，则
（
）
A．
+
－
B．
C．－
D．－
答：
D
2，若向量
、
（
B．
C．
D．以上三种情况都可能
B
3，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：
AC与BD也互相垂直．
.
又
，
即
.……①
.
又
.……②
由①+②得：
4，如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：
EF∥平面PAD；
（2）求证：
EF⊥CD；
证：
如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，
BC＝2b，PA＝2c，则：
A（0,0,0），B（2a,0,0），C（2a,2b,0），
D（0,2b,0），P（0,0,2c）
∵E为AB的中点，F为PC的中点
∴E（a,0,0），F（a,b,c）
（1）∵＝（0,b,c），＝（0,0,2c），＝（0,2b,0）
∴＝（＋）∴与、共面
又∵EÏ
平面PAD
∴EF∥平面PAD．
（2）∵＝（-2a,0,0）
∴·
＝（-2a,0,0）·
（0,b,c）＝0
∴CD⊥EF．
（较难题）
5，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。
分析要证明EF、BC、AD平行于同一平面DF
（E、F分别为AB、CD的中点），只要证明相应AEC
向量EF与AD、BC共面即可。
B
如图，利用多边形加法法则可得，
=
=
…①。
又E、F分别是AB、CD的中点，故有
=-
…②
将②代入①后，两式相加得
2
，∴
与
共面，∴EF与AD、BC平行于同一平面。
注：
本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。
6，如图，已知a⊥α,a⊥b,b￠α,求证b∥α。
在α内作不共线向量m,nb
∵a、m、n不共面，∴b=xa+ym+zn。
a
两边同乘a得a·
b=x·
a·
a+y·
m+z·
nm
∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a·
b=0,a·
m=0,a·
n=0
n
得x·
a=0而a≠0,∴x=0,即b=ym+zn
∴b、m、n为共面向量，又b￠α,b∥α。
7，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E=2EB，CF=2AF，
EF∥平面A1B1CD。
D1C1
+
…
（1）
1+
…
（2）
A1B1
（1）×
2+
（2）并注意到
=-2
，DC
，FE
得
-
AB
而EF￠平面A1B1CD，∴EF∥平面A1B1CD。
∴
为共面向量。
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