直线与平面平行经典题目分析Word文档格式.docx
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过直线a作与a3都相交的平面Y
记aAY=b,3AYC,
贝Ua//b且a//c,
•••b//c.
又b二a,aA3=1,•b//I.•a/l.
C
4.（06重庆卷）对于任意的直线I与平同a,在平面a内必有直线m,使m与I
A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线
对于任意的直线l与平面〉，若l在平面a内，则存在直线m丄l;
若l不在平面a内，
且l丄a,则平面a内任意一条直线都垂直于l，若l不在平面a内，且l于a不垂直，则它的射影在平面a
内为一条直线，在平面?
内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直，
综上所述，选C.
5.已知平面:
-和直线，给出条件：
①m〃〉；
②m_：
「③m〉；
④爲」■：
'
；
⑤〉//'
-.
（i）当满足条件③⑤时，有m〃1;
（ii）当满足条件②⑤时，有m_I
（填所选条件的序号）
•典例剖析
ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M€AC,N€FB且AM=FN,
【例1】如下图，两个全等的正方形求证：
MN//平面BCE.
证法一：
过M作MP丄BC,NQ丄BE,P、Q为垂足（如上图），连结PQ.•/MP//AB,NQ//AB,二MP//NQ.
J2J5
又NQ=BN=CM=MP,•••MPQN是平行四边形.
22
•MN//PQ,PQ平面BCE.而MN二平面BCE,•MN//平面BCE.证法二：
过M作MG//BC,交AB于点G（如下图），连结NG.
•/MG//BC,BC平面BCE,MG二平面BCE,•MG//平面BCE.
bgcmbn
又==,•GN//AF//BE，同样可证明GN//平面BCE.
GAMANF
又面MGnNG=G，•平面MNG//平面BCE.又MN平面MNG.「.MN//平面BCE.
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：
①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；
②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行
【例2】已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13,M、N分别是PA、BD上的点，且
PM:
MA=BN:
ND=5:
8.
（1）求证：
直线MN//平面PBC;
（2）求直线MN与平面ABCD所成的角•
（1）证明：
TP—ABCD是正四棱锥，
•ABCD是正方形•连结AN并延长交BC于点E,连结PE.
•/AD//BC,•EN:
AN=BN:
ND.
又•••BN:
ND=PM:
MA,
•EN:
AN=PM:
MA.•MN//PE.
又•••PE在平面PBC内，•MN//平面PBC.
2
4.2
7
（2）解：
由
（1）知MN//PE,•MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角
设点P在底面ABCD上的射影为O,连结0E，则/PEO为PE与平面ABCD所成的角.
由正棱锥的性质知PO=.PB2-OB2=
由（i）知，BE:
AD=BN:
ND=5
8
•be=65
心PEB中，/PBE=60
BE=65,
【例3】如图，在直二棱柱
ABC—AiBiCi中，AC=3,
BC=4,AAi
i3、.2
根据余弦定理，得PE=9i.
亠亠i3j29i
在Rt△POE中，PO=,PE=—,
_28
PO4.2
••sin/PEO==
PE7
故MN与平面ABCD所成的角为arcsin
BCi;
（II）设CBi与CiB的交点为E,连结DE，:
D是AB的中点,
ACi〃平面CDBi;
•闯关训练
夯实基础
=4，点D是AB的中点,
（I）直三棱柱ABC—AiBiCi,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5
AC丄BC，且BCi在平面ABC内的射影为BC,•AC丄
1.（07福建理）已知m、n为两条不同的直线，：
盘股为两个不同的平面，
则下列命题中正确的是
A.m:
n:
m//,n//L=:
//：
B.:
m:
n二：
＜，二m//n
C.m丄二，m丄n=n/二D.n/m,n丄：
二m丄二
A中m、n少相交条件，不正确；
B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；
C中n
可以在:
-内，不正确，选D
2.（06福建卷）对于平面：
•和共面的直线m、n，下列命题中真命题是
A.若m丄二，m丄n,贝Un/二B.若m//二,n//二，贝Um//n
C.若m二：
n//二，贝Um//nD.若m、n与二所成的角相等，贝Un//m
解：
对于平面a和共面的直线m、n,真命题是“若m=a,n//a,则m//n”，选C.
3.（06湖南卷）过平行六面体ABCD-AiBiCiDi任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBBiDi平行的直线共有（）
A.4条B.6条C.8条D.i2条
如图，过平行六面体ABCD-ABjCjDj任意两条棱的中点
作直线,其中与平面DBBiDi平行的直线共有i2条，选D.
4.（06重庆卷）若P是平面：
•外一点，则下列命题正确的是
A.过P只能作一条直线与平面二相交B.过P可作无数条直线与平面:
二垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面:
平行
过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。
故选D
5.如图，在三棱柱ABC—A'
B'
C'
中，点E、F、H、K分
别为AC'
、CB'
、A'
B、B'
C'
的中点，GABC的重心.从K、H、G、B'
中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（C）
A.KB.HC.GD.B
6.已知a、b为不垂直的异面直线，a是一个平面，则a、b在a上的射影有可能是①两条平行直线；
②两条
互相垂直的直线；
③同一条直线；
④一条直线及其外一点
在上面结论中，正确结论的编号是.（写出所有正确结论的编号）
AiD与BCi在平面ABCD上的射影互相平行；
ABi与BCi在平面ABCD上的射影互相垂直；
DDi与BCi在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点
①②④
7.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面a内，斜边AB//a,AB=2J6,AC、BC分别和平面a成45。
和30。
角，贝UAB到平面a的距离为.
分别过A、B向平面a引垂线AA'
、BB'
，垂足分别为A'
、B'
.
AB
设AA'
=BB'
=x，则AC2=（J）2=2x2,sin45°
BC2=（—）2=4x2.又AC2+BC2=AB2,•••6x2=（2-.6）2,x=2.sin30u
8、（07江西）右图是一个直三棱柱（以AiBiCi为底面）被一平面所截得到的几何体,
截面为ABC.已知AiBi=BiCi=l，/AiBiCi=90
AAi=4,BBi=2,CCi=3。
（I）设点O是AB的中点，证明：
（II）求二面角B—AC—Ai的大小;
（川）求此几何体的体积；
OC//平AiBiCi;
解法一：
（i）证明：
作OD//AA交AiBi于D，连CiD.
则OD//BBi//CCi•因为O是AB的中点,
1
所以OD（AABB）=3=CG.
则ODGC是平行四边形，因此有OC//CiD.
CiD平面GB^iA且OC二平面CBA,
则OC//面ABC.
（2）如图，过B作截面BA2C2//面AiBiCi，分别交AA,CCi于A,C2.
作BH_AC?
于H，连CH.
因为CCi_面BA2C2，所以CCi_BH，贝yBH_平面AC.
又因为AB=它5,BC=好2,AC二、3二AB2二BC2AC2.
所以BC—AC，根据三垂线定理知
CH—AC，所以/BCH就是所求二面角的平面角.
因为BH-，所以sinZBCH
BH
BC
，故ZBCH=30,
即：
所求二面角的大小为30.
VAiBiCi4BC2
所求几何体体积为V=W_aacCV/占申2a
解法二：
（1）如图，以B,为原点建立空间直角坐标系,
则A（0,，,4），B（0,0,2），C（1,0,3），因为O是AB的中点，
（1）—（1、
所以O10,—,3,OC=1,-,0•
I2丿I2丿
易知，n=（0,0,1）是平面ABG的一个法向量.
■■十―■
因为OC_n=0,OC二平面ABQ，所以OC//平面AEG•
（2）AB=（0,-1,-2）,BC=（1,01）,
设m=（x,y,z）是平面ABC的一个法向量，则
y-2z=0则ABm=0,BC~m=0得：
x+z=0
取x=-z=1,m=（1,2,T）•
显然，I=（1,10）为平面AAGC的一个法向量.
所以二面角B-AC-A的大小是30•
（3）同解法一.
培养能力
9.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,
/ABC=600,PA=AC=a,PB=PD=、2a,
点E在PD
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