直线与平面平行经典题目分析Word文档格式.docx
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过直线a作与a3都相交的平面Y
记aAY=b,3AYC,
贝Ua//b且a//c,
•••b//c.
又b二a,aA3=1,•b//I.•a/l.
C
4.(06重庆卷)对于任意的直线I与平同a,在平面a内必有直线m,使m与I
A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线
对于任意的直线l与平面〉,若l在平面a内,则存在直线m丄l;
若l不在平面a内,
且l丄a,则平面a内任意一条直线都垂直于l,若l不在平面a内,且l于a不垂直,则它的射影在平面a
内为一条直线,在平面?
内必有直线m垂直于它的射影,则m与l垂直,
综上所述,选C.
5.已知平面:
-和直线,给出条件:
①m〃〉;
②m_:
「③m〉;
④爲」■:
'
;
⑤〉//'
-.
(i)当满足条件③⑤时,有m〃1;
(ii)当满足条件②⑤时,有m_I
(填所选条件的序号)
•典例剖析
ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M€AC,N€FB且AM=FN,
【例1】如下图,两个全等的正方形求证:
MN//平面BCE.
证法一:
过M作MP丄BC,NQ丄BE,P、Q为垂足(如上图),连结PQ.•/MP//AB,NQ//AB,二MP//NQ.
J2J5
又NQ=BN=CM=MP,•••MPQN是平行四边形.
22
•MN//PQ,PQ平面BCE.而MN二平面BCE,•MN//平面BCE.证法二:
过M作MG//BC,交AB于点G(如下图),连结NG.
•/MG//BC,BC平面BCE,MG二平面BCE,•MG//平面BCE.
bgcmbn
又==,•GN//AF//BE,同样可证明GN//平面BCE.
GAMANF
又面MGnNG=G,•平面MNG//平面BCE.又MN平面MNG.「.MN//平面BCE.
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法:
①利用直线和平面平行的判定定理,通过“线线”平行,证得“线面”平行;
②利用两平面平行的性质定理,通过“面面”平行,证得“线面”平行
【例2】已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13,M、N分别是PA、BD上的点,且
PM:
MA=BN:
ND=5:
8.
(1)求证:
直线MN//平面PBC;
(2)求直线MN与平面ABCD所成的角•
(1)证明:
TP—ABCD是正四棱锥,
•ABCD是正方形•连结AN并延长交BC于点E,连结PE.
•/AD//BC,•EN:
AN=BN:
ND.
又•••BN:
ND=PM:
MA,
•EN:
AN=PM:
MA.•MN//PE.
又•••PE在平面PBC内,•MN//平面PBC.
2
4.2
7
(2)解:
由
(1)知MN//PE,•MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角
设点P在底面ABCD上的射影为O,连结0E,则/PEO为PE与平面ABCD所成的角.
由正棱锥的性质知PO=.PB2-OB2=
由(i)知,BE:
AD=BN:
ND=5
8
•be=65
心PEB中,/PBE=60
BE=65,
【例3】如图,在直二棱柱
ABC—AiBiCi中,AC=3,
BC=4,AAi
i3、.2
根据余弦定理,得PE=9i.
亠亠i3j29i
在Rt△POE中,PO=,PE=—,
_28
PO4.2
••sin/PEO==
PE7
故MN与平面ABCD所成的角为arcsin
BCi;
(II)设CBi与CiB的交点为E,连结DE,:
D是AB的中点,
ACi〃平面CDBi;
•闯关训练
夯实基础
=4,点D是AB的中点,
(I)直三棱柱ABC—AiBiCi,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5
AC丄BC,且BCi在平面ABC内的射影为BC,•AC丄
1.(07福建理)已知m、n为两条不同的直线,:
盘股为两个不同的平面,
则下列命题中正确的是
A.m:
n:
m//,n//L=:
//:
B.:
m:
n二:
<,二m//n
C.m丄二,m丄n=n/二D.n/m,n丄:
二m丄二
A中m、n少相交条件,不正确;
B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行,不正确;
C中n
可以在:
-内,不正确,选D
2.(06福建卷)对于平面:
•和共面的直线m、n,下列命题中真命题是
A.若m丄二,m丄n,贝Un/二B.若m//二,n//二,贝Um//n
C.若m二:
n//二,贝Um//nD.若m、n与二所成的角相等,贝Un//m
解:
对于平面a和共面的直线m、n,真命题是“若m=a,n//a,则m//n”,选C.
3.(06湖南卷)过平行六面体ABCD-AiBiCiDi任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBBiDi平行的直线共有()
A.4条B.6条C.8条D.i2条
如图,过平行六面体ABCD-ABjCjDj任意两条棱的中点
作直线,其中与平面DBBiDi平行的直线共有i2条,选D.
4.(06重庆卷)若P是平面:
•外一点,则下列命题正确的是
A.过P只能作一条直线与平面二相交B.过P可作无数条直线与平面:
二垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面:
平行
过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行,且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。
故选D
5.如图,在三棱柱ABC—A'
B'
C'
中,点E、F、H、K分
别为AC'
、CB'
、A'
B、B'
C'
的中点,GABC的重心.从K、H、G、B'
中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为(C)
A.KB.HC.GD.B
6.已知a、b为不垂直的异面直线,a是一个平面,则a、b在a上的射影有可能是①两条平行直线;
②两条
互相垂直的直线;
③同一条直线;
④一条直线及其外一点
在上面结论中,正确结论的编号是.(写出所有正确结论的编号)
AiD与BCi在平面ABCD上的射影互相平行;
ABi与BCi在平面ABCD上的射影互相垂直;
DDi与BCi在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点
①②④
7.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面a内,斜边AB//a,AB=2J6,AC、BC分别和平面a成45。
和30。
角,贝UAB到平面a的距离为.
分别过A、B向平面a引垂线AA'
、BB'
,垂足分别为A'
、B'
.
AB
设AA'
=BB'
=x,则AC2=(J)2=2x2,sin45°
BC2=(—)2=4x2.又AC2+BC2=AB2,•••6x2=(2-.6)2,x=2.sin30u
8、(07江西)右图是一个直三棱柱(以AiBiCi为底面)被一平面所截得到的几何体,
截面为ABC.已知AiBi=BiCi=l,/AiBiCi=90
AAi=4,BBi=2,CCi=3。
(I)设点O是AB的中点,证明:
(II)求二面角B—AC—Ai的大小;
(川)求此几何体的体积;
OC//平AiBiCi;
解法一:
(i)证明:
作OD//AA交AiBi于D,连CiD.
则OD//BBi//CCi•因为O是AB的中点,
1
所以OD(AABB)=3=CG.
则ODGC是平行四边形,因此有OC//CiD.
CiD平面GB^iA且OC二平面CBA,
则OC//面ABC.
(2)如图,过B作截面BA2C2//面AiBiCi,分别交AA,CCi于A,C2.
作BH_AC?
于H,连CH.
因为CCi_面BA2C2,所以CCi_BH,贝yBH_平面AC.
又因为AB=它5,BC=好2,AC二、3二AB2二BC2AC2.
所以BC—AC,根据三垂线定理知
CH—AC,所以/BCH就是所求二面角的平面角.
因为BH-,所以sinZBCH
BH
BC
,故ZBCH=30,
即:
所求二面角的大小为30.
VAiBiCi4BC2
所求几何体体积为V=W_aacCV/占申2a
解法二:
(1)如图,以B,为原点建立空间直角坐标系,
则A(0,,,4),B(0,0,2),C(1,0,3),因为O是AB的中点,
(1)—(1、
所以O10,—,3,OC=1,-,0•
I2丿I2丿
易知,n=(0,0,1)是平面ABG的一个法向量.
■■十―■
因为OC_n=0,OC二平面ABQ,所以OC//平面AEG•
(2)AB=(0,-1,-2),BC=(1,01),
设m=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,则
y-2z=0则ABm=0,BC~m=0得:
x+z=0
取x=-z=1,m=(1,2,T)•
显然,I=(1,10)为平面AAGC的一个法向量.
所以二面角B-AC-A的大小是30•
(3)同解法一.
培养能力
9.如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,
/ABC=600,PA=AC=a,PB=PD=、2a,
点E在PD