第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题(七年级)Word下载.doc

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A．50％B．75％C．D．

4．如果，且.则下列说法中可能成立的是（）

A．a、b为正数，c为负数B．a、c为正数，b为负数

C．b、c为正数，a为负数D．a、c为负数，b为正数

第5题图

5．如图，若AB∥CD，，

则等于（）

A．50°

B．40°

C．30°

D．20°

6．商家获得的利润按以下公式计算：

利润=售价－进价－售价×

税率.若税率由b%调为c%，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的（）

A．倍B．倍C．倍D．倍

二、填空题（每小题5分，共30分。

）

7．计算：

=．

8．关于x的方程的解是．

9．方程|2015x－2015|=2015的根是．

10．若，则的值等于．

11．若P是质数，且P+3整除5P，则的末位数是．

12．时钟的分针和时针在下午4点至5点成45°

角的时刻是．

三、解答题（每小题15分，共60分，写出推理、运算的过程及最后结果．）

13．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：

“当式子取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．

小红说：

“如果去掉绝对值问题就变得简单了。

”小明说：

“利用数轴可以解决这个问题。

”

他们把数轴分为三段：

，和，经研究发现，当时，值最小为3．

请你根据他们的解题解决下面的问题：

（1）当式子取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是．

（2）已知，求相应的x的取值范围及的最大值。

写出解答过程．

14．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．

（1）如图1，若∠COF=34°

，则∠BOE=　　；

若∠COF=n°

∠BOE与∠COF的数量关系为　　．

（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，

（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？

如成立请写出关系式；

如不成立请说明理由．

（3）在图3中，若∠COF=65°

，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半？

若存在，请求出∠BOD的度数；

若不存在，请说明理由．

第14题图

15．（本小题满分15分）

老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度为25千米／小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米／小时．学生步行的速度为5千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．

16．有依次排列的3个数：

3，9，8，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：

3，6，9，，8，这称为第一次操作；

做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：

3，3，6，3，9，，，9，8，继续依次操作下去，问：

从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？

第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题

七年级参考答案

一、选择题

1．D2．C3．C4．C5．B6．A

二、填空题

7．8．49．10．－311．8

12．下午4点分或4点30分

三、解答题

13．

（1）和8；

（2）当，时

当，时

当，时

所以时，有最大值．

14．

（1）∵∠COE是直角，∠COF=34°

，

∴∠EOF=90°

﹣34°

=56°

由∵OF平分∠AOE．

∴∠AOE=2∠EOF=112°

∴∠BOE=180°

﹣112°

=68°

；

当∠COF=n°

∴∠EOF=90°

﹣n°

∴∠AOE=2∠EOF=180°

﹣2n°

﹣（180°

）=2n°

所以有∠BOE=2∠COF．

故答案为：

68°

，2n°

，∠BOE=2∠COF；

（2）∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立．理由如下：

设∠COF=n°

，如图2，

∵∠COE是直角，

又∵OF平分∠AOE．

，即∠BOE=2∠COF；

（3）存在．理由如下：

如图3，∵∠COF=65°

∴∠BOE=2×

65°

=130°

∠EOF=∠AOF=90°

﹣65°

=25°

而2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半，

∴2∠BOD+25°

=（130°

﹣∠BOD），

∴∠BOD=16°

．

15．要使师生三人都到达博物馆的时问尽可能短，可设计方案如下：

设学生为甲、乙二人．乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师带乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．5分

设老师带甲乘摩托车行驶了x千米，用了小时，比乙多行了

这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了

乙遇到老师时，已经步行了

离博物馆还有

要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有

13分

即甲先乘摩托车24千米，用时1.2小时，再步行9千米，用时1.8小时，共计3小时．

因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．15分

16．一个依次排列的n个数组成一个n一数串：

，2分

依题设操作方法可得新增的数为：

所以，新增数之和为：

6分

原数串为3个数：

3，9，8

第1次操作后所得数串为：

3，6，9，，88分

根据（*）可知，新增2项之和为：

第2次操作后所得数串为：

3，3，6，3，9，，，9，810分

12分

按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：

．15分

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