培训学校北师大版秋季九年级数学教案Word格式.doc

培训学校北师大版秋季九年级数学教案Word格式.doc

《培训学校北师大版秋季九年级数学教案Word格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《培训学校北师大版秋季九年级数学教案Word格式.doc（49页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

化分式方程为整式方程；

化高次方程为一次或二次方程；

化多元为一元；

化无理方程为有理方程。

总之：

最后转化为一元一次方程或一元二次方程．

②解方程的基本方法：

解整式方程：

一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），降次（换元降次、因式分解降次、辅助式降次等）等方法．

解分式方程：

一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法．

解无理方程：

一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法．

一元二次方程的认识

⑴要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：

①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．

②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．

③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是．

⑵任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式．

要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；

当且时，方程是一元一次方程．

⑶关于的一元二次方程式的项与各项的系数．

为二次项，其系数为；

为一次项，其系数为；

为常数项．

一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到，显然只有当时，才能直接开平方得：

．

也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．

判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．

判别式：

则

①方程有两个不相等的实数根．

②方程有两个相等的实数根．

③方程没有实数根．

若，，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；

说明:

（1）用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:

上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，;

有两个相等的实数根时，;

没有实数根时，．

（2）在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点．

一元二次方程的根的判别式的应用：

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：

（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；

（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；

（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．

如果一元二次方程（）的两根为那么，就有

比较等式两边对应项的系数，得

①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．

因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．

利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性．

在的条件下，我们有如下结论：

当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；

若，则此方程的正根小于负根的绝对值．

当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；

若，则此方程的两根均为负根．

⑴韦达定理：

如果的两根是，，则，．（隐含的条件：

）

⑵若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：

①，

②且，

③且，

特殊地：

当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．

⑶以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：

⑷其他：

①若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．

②若，则方程必有实数根．

③若，方程不一定有实数根．

④若，则必有一根．

⑤若，则必有一根．

⑸韦达定理主要应用于以下几个方面：

①已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；

②已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；

③已知方程的两根，求作方程；

④结合根的判别式，讨论根的符号特征；

⑤逆用构造一元二次方程辅助解题：

当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；

⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．

二.典型例题讲解及思维拓展

一、知识结构：

一元二次方程

二、考点精析

考点一、概念

（1）定义：

①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。

（2）一般表达式：

⑶难点：

如何理解“未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）

AB

C D

变式：

当k时，关于x的方程是一元二次方程。

例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。

针对练习：

★1、方程的一次项系数是，常数项是。

★2、若方程是关于x的一元一次方程，

⑴求m的值；

⑵写出关于x的一元一次方程。

★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。

★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）

A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1

考点二、方程的解

⑴概念：

使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：

利用根的概念求代数式的值；

例1、已知的值为2，则的值为。

例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。

例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程

必有一根为。

例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，

则m的值为。

★1、已知方程的一根是2，则k为，另一根是。

★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。

⑴求k的值；

⑵方程的另一个解。

★3、已知m是方程的一个根，则代数式。

★★4、已知是的根，则。

★★5、方程的一个根为（）

AB1CD

★★★6、若。

考点三、解法

⑴方法：

①直接开方法；

②因式分解法；

③配方法；

④公式法

⑵关键点：

降次

类型一、直接开方法：

※※对于，等形式均适用直接开方法

例1、解方程：

=0;

例2、若，则x的值为。

下列方程无解的是（）

A.B.C.D.

类型二、因式分解法:

※方程特点：

左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”。

※方程形式：

如，，

例1、的根为（）

ABCD

例2、若，则4x+y的值为。

变式1：

。

变式2：

若，则x+y的值为。

变式3：

若，，则x+y的值为。

例3、方程的解为（）

A.B.C.D.

例4、解方程：

例5、已知,则的值为。

已知,且,则的值为。

★1、下列说法中：

①方程的二根为，，则

②.

③

④

⑤方程可变形为

正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

★2、以与为根的一元二次方程是（）

A．B．

C． D．

★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：

⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：

★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（）

A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或2

5、方程：

的解是。

★★★6、已知，且，，求的值。

★★★7、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为。

类型三、配方法

※在解方程中，多不用配方法；

但常利用配方思想求解代数式

的值或极值之类的问题。

例1、试用配方法说明的值恒大于0。

例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。

例3、已知为实数，求的值。

例4、分解因式：

★★1、试用配方法说明的值恒小于0。

★★2、已知，则.

★★★3、若，则t的最大值为，最小值为。

★★★4、如果,那么的值为。

类型四、公式法

⑴条件：

⑵公式：

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴⑵⑶

⑷⑸

例2、在实数范围内分解因式：

（1）；

（2）.⑶

说明：

①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，

一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成

=.

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

类型五、“降次思想”的应用

⑴求代数式的值；

⑵解二元二次方程组。

例1、已知，求代数式的值。

例2、如果，那么代数式的值。

例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。

例4、用两种不同的方法解方程组

解二元二次方程组的具体思维方法有两种：

①先消元，再降次；

②先降次，再

消元。

但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已

知的问题.

考点四、根的判别式

根的判别式