高中数学人教A版必修二习题《圆与方程》易错疑难集训文档格式.docx

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疑难点1与圆有关的最值问题

1.[2018浙江温州十校联合体高一（上）期中考试]已知圆和两点.若圆上存在点，使得,则实数的最大值为（）

A.7

B.6

C.5

D.4

2.[2017河北保定中学月考]已知直线和圆相交于两点，当弦最短时，实数的值为（）

B.-6

C.6

3.与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是____.

4.[2018湖南长沙一中月考]已知圆与直线相交于两点，则当的面积最大时，实数的值为____.

5.[2018湖北荆州中学期中考试]在中，是的内切圆上的一点，求分别以为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.

6.[2017河北邯郸一中高一（上）月考]已知圆过点,且圆心在上.

（1）求圆的方程；

（2）设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形的面积的最小值.

疑难点2与圆有关的对称问题

7.[2018江西吉安一中高一（上）段考]若直线与圆的两个交点恰好关于轴对称，则（）

A.O

B.1

C.2

D.3

8.[2018浙江台州高一（上）期中联考]若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切,则圆心的轨迹方程是（）

9.[2018山东青岛二中月考]已知圆，从点发出的光线，经轴反射后恰好经过圆心，则入射光线所在的直线的斜率为（）

10.[2017四川绵阳中学高一（上）期末考试]已知圆，直线.

（1）当时，直线与圆相交于两点，求弦的长；

（2）若且直线与圆相切，求圆关于直线对称的圆的方程.

过专项高考常考题型专练

1.[2018湖南师大附中高一（上）期末考试]已知点，圆.

（1）若直线过点且被圆截得的弦的长为,求的方程；

（2）求圆的过点的弦的中点的轨迹方程

2.[2018东北师范大学附属中学月考]已知圆，点是直线上的动点.

（1）若从点到圆的切线长为，求点的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；

（2）若点，直线与圆的另一交点分别为，求证：

直线经过定点.

3.[2018江西南昌高三模考]已知圆，直线.

（1）求直线所过定点的坐标；

（2）求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长；

（3）如图，已知点,在直线上（为圆心），存在一定点（异于点），满足对于圆上任一点，都有为一常数,试求所有满足条件的点的坐标及该常数.

参考答案

易错疑难集训

（二）

1.

答案：

D

解析：

由题意，知直线与半圆只有一个交点.结合如图所示的图形,易得或或.

2.

A

由题意，设直线的方程为.圆心到直线的距离为，得或（舍去），即直线的方程为.

3.

设圆的半径为直线被圆截得的弦长为.圆心到直线的距离，由题意，得，所以，则，所以，结合，可知.

4.

见解析

假设存在斜率为1的直线满足题意，则（为坐标原点）.

设直线的方程是，

则.①

由，得，

，②

.③

把②③代人①，得,解得或,

而或都使得成立.

存在直线满足题意，其方程为或.

【练后反思】当直线与圆相交时，应注意相交的条件，如第3题中的；

只有直线与圆相交，才能有弦长，因此解决有关含有参数的弦长问题时，一定要检验所求的参数是否满足判别式，不满足的应当舍去.

5.

（1）将曲线的方程化为，

即，

可知将曲线是以为圆心，以为半径的圆.

（2）的面积为定值.证明如下：

令，得,

令，得

为定值.

（3）圆过坐标原点，且,

当时，圆心坐标为，圆的半径为，

则圆心到直线的距离，

直线与圆相离，不合题意，舍去，检验可知当时符合题意.

这时曲线的方程为.

B

根据题意，画出示意图，如图所示，

圆心的坐标为，半径，且.因为，

所以连接，易知，要求实数的最大值，即求圆上的点与原点之间距离的最大值.因为，所以，即实数的最大值为6.

可化为，故直线过定点，易知这个点在圆内.圆心为，

，故当弦最短时，直线的斜率为，即

将曲线的方程化为，所以该曲线是以为圆心，为半径的圆，其圆心到直线距离.如图所示，易知所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离,即最小圆的半径为，圆心坐标为.故所求圆的标准方程为.

圆的圆心为，

径为1，圆心到直线的距离，

所以的面积.

当时，取得最大值,且最大值为，所以的面积的最大值为，此时.

建立如图所示的平面直角坐标系，使三点的坐标分别为.

设的内切圆的半径为,点的坐标为，

则，求得，

又可求得内切圆的圆心为，

所以内切圆的方程为，

即.①

又

.②

将①代入②，得.

因为是内切圆上的点,则，

所以的最大值为22，最小值为18.

又三个圆的面积之和为

所以分别以为直径的三个圆的面积之和的最大值为最小值为.

6.

（1）设圆的方程为.

由题意，得，解得，

故圆的分程为.

（2）由题意，

又，

所以.

而

即.

因此,要求的最小值，只需求的最小值.

7.

方法一：

将两方程联立消去,得,由题意此方程两根之和为0,故.

方法二：

直线与圆的两个交点恰好关于轴对称，所以圆心在轴上，因此.

8.

C

由圆与圆关于直线对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线上,可得,即点的坐标为，所以圆的圆心的轨迹方程为,整理得.故选C.

9.

由题意，可得圆心关于轴的对称点在入射光线所在的直线上,再由点也在人射光线所在的直线上，可得人射光线所在的直线的斜率为.

10.

（1）圆，

又圆心的坐标为，直线

圆心到直线的距离

（2）由直线与圆相切,得.

圆心，直线.

设圆心，则，解得，

即圆心的坐标为,

圆的方程为.

答案；

（1）由题意，知，圆的半径为4.

如图所示，过点作于点，则是的中点.

由题意，知

在中，可得.

当直线的斜率存在时,设直线的斜率为，则直线的方程为，即.

由点到直线的距离公式，得，解得.

此时直线的方程为.

当直线的斜率不存在时,也满足题意,此时直线的方程为.

所以直线的方程为或.

（2）设圆的过点的弦的中点为.

当点不与点，重合时,且.

在中，有,

化简得.①

当点与点重合时，点的坐标为，满足方程①.

当点与点重合时，点的坐标为,满足方程①.

综上,所求轨迹方程为.

（1）依题意，设.

设两切点分别为，则.

由题意可知，即,解得,

所以点的坐标为.

在中，可求得，所以,

所以所求两条切线所夹的劣弧长为.

（2）设.

依题意,可得直线的方程为，

由，得.

因为直线经过点,

所以是上述方程的两个根，

则，即，

代入直线方程，

得.

同理，可得直线的方程为

因为直线经过点，

则，即

若，则，此时

显然在直线上，所以直线经过定点.

若，则，

由，

，可知，

所以三点共线，即直线经过定点.

综上所述，直线经过定点.

（1）依题意，得，

令，解得直线过定点.

（2）当时，所截的弦长最短.

由题知，半径，

圆心到直线的距离为,

最短弦长为.

（3）由题知，直线的方程为.

假设存在定点满足题意，

则设，

整理得，

此式对任意的恒成立，

综上,在直线上存在定点,使得为常数.