培训学校北师大版秋季九年级数学教案Word格式.doc

1、化分式方程为整式方程；化高次方程为一次或二次方程；化多元为一元；化无理方程为有理方程。总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程解方程的基本方法：解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），降次（换元降次、因式分解降次、辅助式降次等）等方法解分式方程：一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法解无理方程：一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法一元二次方程的认识 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数 一元二次方程

2、是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是 任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程 关于的一元二次方程式的项与各项的系数为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：也就是说，一元二次方程只有当系数、满足条件时才有实数根这里叫做一元二次方程根的判别式判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定判别式：则方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程

3、没有实数根若，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；说明: （1）用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，;有两个相等的实数根时，;没有实数根时， （2）在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根 当时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当时抛物线开口向下顶点为其最高点一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实数根的个

4、数； （2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题如果一元二次方程（）的两根为那么，就有比较等式两边对应项的系数，得式与式也可以运用求根公式得到人们把公式与称之为韦达定理，即根与系数的关系因此，给定一元二次方程就一定有与式成立反过来，如果有两数满足与，那么这两数必是一个一元二次方程的根利用这一基本知识常可以简捷地处理问题利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负若，则此方程的正根不小于

5、负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值当时，方程的两根同正或同负若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根 韦达定理：如果的两根是，则，（隐含的条件：） 若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地： ， 且， 且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件 以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： 其他： 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数） 若，则方程必有实数根 若，方程不一定有实数根 若，则必有一根 若，则必有一根 韦达定理主要应用于以下几个方面： 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 已知方程，求关于方程的两根

6、的代数式的值； 已知方程的两根，求作方程； 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一点设置陷阱二. 典型例题讲解及思维拓展一、知识结构：一元二次方程二、考点精析考点一、概念（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 （2）一般表达式：难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有

7、待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。针对练习：1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。2、若方程是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求

8、代数式的值；例1、已知的值为2，则的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为 。1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。求k的值； 方程的另一个解。3、已知m是方程的一个根，则代数式 。4、已知是的根，则 。5、方程的一个根为（ ）A B 1 C D 6、若 。考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：对于，等形式均适用直接开方法例1、解方程： =0; 例2、若，

9、则x的值为 。下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”。方程形式：如， ，例1、的根为（ ）A B C D 例2、若，则4x+y的值为 。变式1： 。变式2：若，则x+y的值为 。变式3：若，则x+y的值为 。例3、方程的解为（ ）A. B. C. D.例4、解方程： 例5、已知,则的值为 。已知,且,则的值为 。1、下列说法中：方程的二根为，则 . 方程可变形为正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、以与为根的一元二次方程是（）A BC D3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒

10、数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或25、方程：的解是 。6、已知，且，求的值。7、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为 。类型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。例1、 试用配方法说明的值恒大于0。例2、 已知x、y为实数，求代数式的最小值。例3、 已知为实数，求的值。例4、 分解因式：1、试用配方法说明的值恒小于0。2、已知，则 .3、若，则t的最大值为 ，最小值为 。4、如果,那么的值为 。类型四、公

11、式法条件：公式： ,例1、选择适当方法解下列方程： 例2、在实数范围内分解因式：（1）； （2）. 说明：对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成=.分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值； 解二元二次方程组。例1、 已知，求代数式的值。例2、如果，那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。例4、用两种不同的方法解方程组解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式根的判别式