长沙市湖南师大附中中考数学期末几何综合压轴题易错汇编Word格式.docx

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（2）根据M为A'

B'

的中点，即可得出∠A=∠A'

CM，进而得到PB=，依据tan∠BQC=tan∠A=，即可得到BQ=BC×

=2，进而得出PQ=PB+BQ=；

（3）依据S四边形PA'

B′Q=S△PCQ-S△A'

CB'

=S△PCQ-，即可得到S四边形PA'

B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×

BC=PQ，利用几何法或代数法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'

B′Q=3-．

【详解】

解

（1）由旋转得：

，

，，

（2）因为M是中点，所以，

，

．

∵∠PCQ=∠PBC=90°

∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°

∴∠BQC=∠BCP=∠A，

（3），

最小，即最小，

取PQ的中点G，

，即PQ=2CG，

当最小时，最小，

，与重合，最小，

∵的最小值为，．

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：

旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

旋转前、后的图形全等．

2．（基础巩固）

（1）如图1，在中，M是的中点，过B作，交的延长线于点D．求证：

（尝试应用）

（2）在

（1）的情况下载线段上取点E（如图2），已知，，，求；

（拓展提高）（3）如图3，菱形中，点P在对角线上，且，点E为线段上一点，．若，，求菱形的边长．

（1）证明见解析；

（3）．

（1）证明，即可求解；

（2）过点B作于点H，得到，进而求解；

（3）延长交于G，交延长线于F，连结，可得，所以，设菱形边长为，进而可得出结论．

解：

（1）证明：

，，

是的中点，

（2）由

（1）得，

作，垂足为H，如图所示：

在中，

（3）延长交于G，交延长线于F，连结，

如图所示：

过作于由

，

设菱形边长为，

在和中，

即，

解得（舍负），

菱形的边长为．

本题考查四边形综合题，主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解直角三角形、勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．

3．定义：

有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”．

（概念理解）

（1）如图1，四边形是“对补四边形”．

①若，则________；

②若．且时．则_______；

（拓展提升）

（2）如图，四边形是“对补四边形”，当，且时，图中之间的数量关系是，并证明这种关系；

（类比应用）（3）如图3，在四边形中，平分；

①求证：

四边形是“对补四边形”；

②如图4，连接，当，且时，求的值．

（1）①，②；

（2），理由见解析；

（3）①见解析，②．

（1）①根据“对补四边形”的定义，结合，即可求得答案；

②根据“对补四边形”的定义，由，得，再利用勾股定理即可求得答案；

（2）延长至点，使得，连接，根据“对补四边形”的定义，可证明，继而证明，从而可得结论；

（3）①过点作于点，于点，则,可证，进而可证四边形是“对补四边形”；

②设，则根据，再运用建立方程，解方程即可求得．

（1），

设，

根据“对补四边形”的定义，

解得，

故答案为：

②如图1，连接，

在中

（2），理由如下：

如图2，延长至点,使得，连接，

四边形是“对补四边形”，

（3）①证明：

如图3，过点作于点，于点，

则，

平分，

与互补，

②由①可知四边形是“对补四边形”，

设，则

整理得：

解得：

在中，，

本题考查了勾股定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，三角函数的定义等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质，准确理解新定义是解题的关键．

4．我们定义：

有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

（1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探究；

如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展；

如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°

，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°

＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．

（1）矩形或正方形；

（2）AC=BD，理由见解析；

（3）10或12﹣．

（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；

（2）AC=BD，理由为：

连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（3）分两种情况考虑：

（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；

（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°

时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．

连接PD，PC，如图1所示：

∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，

∴PA=PD，PC=PB，

∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，

∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，

即∠PAD=∠PBC，

∴∠APC=∠DPB，

∴△APC≌△DPB（SAS），

∴AC=BD；

（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，

∴∠ED′B=∠EBD′，

∴EB=ED′，

设EB=ED′=x，由勾股定理得：

42+（3+x）2=（4+x）2，解得：

x=4.5，

过点D′作D′F⊥CE于F，

∴D′F∥AC，

∴△ED′F∽△EAC，

∴，

D′F=，

∴S△ACE=AC×

EC=×

4×

（3+4.5）=15；

S△BED′=BE×

D′F=×

4.5×

=，

则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；

时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，

∴四边形ECBD′是矩形，

∴ED′=BC=3，

在Rt△AED′中，根据勾股定理得：

AE=，

∴S△AED′=AE×

ED′=×

×

3=，S矩形ECBD′=CE×

CB=（4﹣）×

3=12﹣3，

则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．

此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题．

5．[探究函数的图象与性质]

（1）函数的自变量的取值范围是；

（2）下列四个函数图象中函数的图象大致是；

（3）对于函数，求当时，的取值范围.

请将下列的求解过程补充完整.

∵

∴

∴.

[拓展运用]

（4）若函数，则的取值范围.

（1）；

（2）C；

（3）4，4；

（4）

试题分析：

本题的⑴问抓住函数是由分式给定的，所以抓住是分母不为0,即可确定自变量的取值范围.本题的⑵问结合第⑴问中的，即或进行分类讨论函数值的大致取值范围，即可得到函数的大致图象.本题的第⑶问根据函数的配方逆向展开即推出“（）”应填写“常数”部分，再根据配方情况可以得到当当时，的取值范围.本题的⑷问现将函数改写为的形式，再按⑶的形式进行配方变形即可求的取值范围.

试题解析：

（1）由于函数是分式给定的，所要满足分母不为0，所以.

故填：

.

（2）即或；

当时，的值是正数，此时画出的图象只能在第一象限；

当时，的值是负数，此时画出的图象只能在第三象限；

所以函数的图象只在直角坐标系的一、三象限.故其大致图象应选C.

（3）∵，

∴.

故分别填：

（4）∵（这里隐含有首先是正数）

∴.

6．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

问题发现

如图，若四边形ABCD是矩形，且于G，，填空：

______；

当矩形ABCD是正方形时，______；

拓展探究

如图，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：

当与满足什么关系时，成立？

并证明你的结论；

解决问题

如图，若于G，请直接写出的值．

（1）①，②1；

（2）当+=180°

时，成立，理由见解析；

（3）.

（1）根据矩形的性质先一步证明△AED~△DFC，然后进一步利用相似三角形性质求解即可；

（2）在AD的延长线上取一点M，使得CM=CF，则∠CMD=∠CFM，通过证明△ADE~△DCM进一步求解即可；

（3）过C点作CN⊥AD于N点，CM⊥AB交AB延长线于M点，连接BD，先证明△BAD≌△BCD，然后进一步证明△BCM~△DCN，再结合勾股定理求出CN，最终通过证明△AED~△NFC进一步求解即可.

（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A=∠FDC=90°

，AB=CD，

∵CF⊥DE，

∴∠DGF=90°

∴∠ADE+∠CFD=90°

∠ADE+∠AED=90°

∴∠CFD=∠AED，

∵∠A=∠CDF，

∴△AED~△DFC，

∴①，②若四边形ABCD为正方形，，

①，②1；

时，成立，理由如下：

如图，在AD的延长线上取一点M，使得CM=CF，则∠CMD=∠CFM，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠A=∠CDM，

∵∠B+∠EGC=180°

∴∠BEG+∠FCB=180°

∵∠BEG+∠