高考数学解题技巧及规范答题三角函数大题Word下载.docx
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(1)将f(x)化为asinx+bcosx的形式;
(2)构造;
(3)和角公式逆用,得(其中φ为辅助角);
(4)利用研究三角函数的性质;
(5)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.
【核心素养】
以三角形为载体,以正弦定理、余弦定理为工具,以三角恒等变换为手段考查解三角形问题是高考一类热点题型,考查的核心素养主要有“逻辑推理”、“数学运算”、“数据分析”.
【典例】【2020年全国II卷】
中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.
(1)求A;
(2)若BC=3,求周长的最大值.
【分析】
(1)利用正弦定理角化边,配凑出的形式,进而求得;
(2)利用余弦定理可得到,利用基本不等式可求得的最大值,进而得到结果.
【详解】
(1)由正弦定理可得:
,
,.
(2)由余弦定理得:
即.
(当且仅当时取等号),
解得:
周长,周长的最大值为.
【解题方法与步骤】
1、解三角形问题的技巧:
(1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;
如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;
以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误,要根据条件和三角形的限制条件合理取舍;
②求角时易忽略角的范围而导致错误,因此需要根据大边对大角,大角对大边的规则,画图进行判断.
(2)三角形解个数的判断:
已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;
已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断.
2、三角恒等变换要遵循的“三看”原则:
一看“角”:
通过看角之间的差别与联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式;
二看“函数名称”:
看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
三看“结构特征”:
分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.
3、解三角形与三角函数综合问题一般步骤:
第一步,转化:
正确分析题意,提炼相关等式,利用等式的边角关系合理将问题转化为三角函数的问题;
第二步,用定理、公式、性质:
利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角关系的互化;
第三步,得结论:
利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值,或讨论三角函数的基本性质等.
【好题演练】
1.(2021·
河南中原高三模拟)
在中,,,所对的角分别为,,,已知.
(1)求;
(2)若,为的中点;
且,求的面积.
(1)根据题意,由正弦定理得出,再由两角和的正弦公式化简得,由于,从而可求得,最后根据同角三角函数的平方关系,即可求出;
(2)法1:
在中由余弦定理得出,再分别在和中,由余弦定理得出和,再由,整理化简的出边,最后根据三角形的面积公式,即可求出结果.
法2:
由平面向量的加法运算法则得出,两边平方并利用平面向量的数量积运算化简得,从而可求出边,最后根据三角形的面积公式,即可求出结果.
(1)因为,
由正弦定理得,
因为,
所以,
因为,所以,所以,
因为,所以.
在中,由余弦定理得,
即,
因为,所以,
整理得,解得:
或(舍去),
所以.
因为为的中点,所以,
两边平方得,
即,即,解得或(舍),
2.记中内角,,的对边分别为,,.已知,.
(2)点,位于直线异侧,,.求的最大值.
(1)由已知条件可得,利用正弦定理化边为角结合
利用两角和的正弦公式展开整理可求得的值,即可得角;
(2)结合
(1)化角为边可得
,即,在中由余弦定理求,利用三角恒等式变换以及三角函数的性质可得最大值.
由正弦定理得:
.
因为,,
所以,又因为,所以,
可得:
,因为,所以;
(2)由
(1)知,
由正弦定理可得,
由余弦定理得
所以当且仅当时,取得最大值,
所以取得最大值.
3.在中,内角的对边分别为,且满足.
(2)若,求周长的取值范围.
(1)由正弦定理得,化简得,
利用的范围可得答案;
(2)由正弦定理得,利用的范围和三角函数的性质可得答案.
(1)由正弦定理得,
解得,
(2)由正弦定理得,
所以
4.(2021·
天津高考)
在,角所对的边分别为,已知,.
(I)求a的值;
(II)求的值;
(III)求的值.
(I)由正弦定理可得,即可求出;
(II)由余弦定理即可计算;
(III)利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值,再由两角差的正弦公式即可求出.
(I)因为,由正弦定理可得,
,;
(II)由余弦定理可得;
(III),,
,,
5.(2021·
南京市中华中学)
在中,分别为内角的对边,且满足.
(1)求的大小;
(2)从①,②,③这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中,并解决问题.
问题:
已知___________,___________,若存在,求的面积,若不存在,请说明理由.
注:
如果选择多个条件解答,按第一个解答计分.
(1)由正弦定理进行边角互化,再结合辅助角公式化简运算,可求出角的范围.
(2)若选择条件①②,由余弦定理可计算的值,面积公式计算面积;
若选择条件②③,正弦定理计算边,两角和的正弦计算,可求面积;
若选择条件①③,由大边对大角可知三角形不存在.
(1)因为,由正弦定理可得
因为
所以即
因为即
(2)若选择条件①②,
由余弦定理
可得,解得,
故,
若选择条件②③
由正弦定理可得,可得
若选择条件①③
这样的三角形不存在,理由如下:
在三角形中,,
所以,所以
又因为
所以与矛盾,
所以这样的三角形不存在.