江苏省届高考数学二轮复习第23讲 高考题中的解答题解法Word下载.docx

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②f（x）的最小值为－.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn＝f（n）,求数列{an}的通项公式.

4.如图，在半径为、圆心角为60°

的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N、M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y.

（1）按下列要求写出函数的关系式：

①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；

②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；

（2）请你选用

（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．

【例1】　已知集合A＝{x|x2－（3a＋3）x＋2（3a＋1）<

0，x∈R}，集合B＝{x|<

0，x∈R}．

（1）当4B时，求实数a的取值范围；

（2）求使BA的实数a的取值范围．

【例2】　如图，已知圆C：

x2＋y2＝9，点A（－5,0），直线l：

x－2y＝0.

（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；

（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：

对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

【例3】　对于数列{an}，定义{Δan}为数列{an}的“一阶差分数列”，其中Δan＝an＋1－an（n∈N*）．

（1）若数列{an}的通项公式an＝n2－n（n∈N*），求{Δan}的通项公式；

（2）若数列{an}的首项是1，且满足Δan－an＝2n.

①证明数列为等差数列；

②设{an}的前n项和为Sn，求Sn.

【例4】　函数f（x）＝lnx－（x>

0，a∈R）．

（1）试求f（x）的单调区间；

（2）当a>

0时，求证：

函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a＝1；

（3）求证：

不等式－<

对于x∈（1,2）恒成立．

1.（2011·

重庆）设a∈R，f（x）＝cosx（asinx－cosx）＋cos2满足f＝f（0），求函数f（x）在上的最大值和最小值．

2.（2011·

江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.

（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

（2）某广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？

并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

3.（2011·

安徽）设f（x）＝，其中a为正实数．

（1）当a＝时，求f（x）的极值点；

（2）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

4.（2011·

湖北）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：

a1＝a（a≠0），an＋1＝rSn（n∈N*，r∈R，r≠－1）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：

对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．

（2011·

苏锡常镇调研）（本小题满分16分）已知函数f（x）＝x（x－1）2，x>

0.

（1）求f（x）的极值；

（2）设0<

a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数G（a）＝的最小值；

（3）设函数g（x）＝lnx－2x2＋4x＋t（t为常数），若使g（x）≤x＋m≤f（x）在（0，＋∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．

解：

（1）f′（x）＝（3x－1）（x－1）,（1分）

令f′（x）＝0，得x1＝，x2＝1.

f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：

x

1

（1，＋∞）

f′（x）

＋

－

f（x）

增

极大值

减

极小值

∴当x＝时，有极大值f＝；

（2分）

当x＝1时，有极小值f

（1）＝0.（3分）

（2）易知f（x）在上递增，递减，（1，＋∞）递增．（4分）

∴当0＜a≤时，G（a）＝＝（a－1）2≥，（5分）

特别当a＝时，有G（a）＝；

（6分）

当＜a≤1时，F（a）＝f，则G（a）＝＝≥＝.（7分）

故对任意的0＜a≤1，G（a）的最小值为.（8分）

（3）由已知得h1（x）＝x＋m－g（x）＝2x2－3x－lnx＋m－t≥0在（0，＋∞）上恒成立，

由h′1（x）＝，（9分）

得x∈（0,1）时，h′1（x）＜0，x∈（1，＋∞）时，h′1（x）＞0，

故x＝1时，h1（x）取极小值，也是最小值．

从而当且仅当h1

（1）＝m－t－1≥0，m≥t＋1时，h1（x）≥0在（0，＋∞）恒成立．（11分）

同样的，h2（x）＝f（x）－x－m＝x3－2x2－m≥0，

在（0，＋∞）恒成立．

由h′2（x）＝3x（x－）得x∈时，h′2（x）＜0，x∈（，＋∞）时，h′2（x）＞0，

故x＝时，h2（x）取极小值，也是最小值．

从而当且仅当h2＝－－m≥0，m≤－时，

h2（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立．（13分）

∴t＋1≤m≤－.（14分）

由m的唯一性知t＝－，此时m＝－.（16分）

第23讲　高考题中的解答题解法

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.

（1）若sin＝2cosA，求A的值；

（2）若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．

点拨：

本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力，是C级要求，但属容易题．解题说理要准确、完整，过程要合理、严谨．

（1）由题意知sinAcos＋cosAsin＝2cosA，从而sinA＝cosA，所以

cosA≠0，tanA＝.因为0＜A＜π，所以A＝.

（2）由cosA＝，b＝3c，及a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＝a2＋c2，所以△ABC是直角三角形，且B＝，所以sinC＝cosA＝.

2.如图所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB＝1米，高0.5米，CD＝2a米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．

（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S＝f（x）；

（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？

求出这个最大面积．

（1）①0≤x＜时，由平面几何知识，得＝.

∴MN＝2（2a－1）x＋1，S＝f（x）＝－（2a－1）x2＋（a－1）x＋.

②＜x＜a＋时，S＝f（x）＝·

2·

＝·

.

∴S＝f（x）＝

（2）①0≤x＜时，S＝f（x）＝－（2a－1）x2＋（a－1）x＋.

∵a＞，∴－＝＜0，∴＜.

（i）＜a≤1，当x＝0时，[f（x）]max＝f（0）＝.

（ii）a＞1，当x＝时，[f（x）]max＝f＝.

②＜x＜a＋时，

S＝f（x）＝·

＝

≤＝a2，

等号成立2＝a2－2x＝（a＋1）∈.

∴当x＝（a＋1）时，[f（x）]max＝.

（i）＜a≤1时，∵－＝，

∴＜a≤时，当x＝0，[f（x）]max＝f（0）＝，

＜a≤1时，当x＝（a＋1），[f（x）]max＝.

（ii）a＞1时，a2－＝a2＞0.

当x＝（a＋1）时，[f（x）]max＝.

综上，＜a≤时，当x＝0时，[f（x）]max＝f（0）＝，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．a＞时；

当x＝（a＋1）时，[f（x）]max＝，即MN与AB之间的距离为x＝（a＋1）米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为a2平方米．

基础训练

1.解：

（1）f（x）＝2sin2x－2sinxcosx＋1＋m

＝1－cos2x－sin2x＋1＋m＝－2sin＋2＋m.

由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），

得y＝f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

（2）当≤x≤π时，≤2x＋≤，∴－1≤sin≤，

∴1＋m≤f（x）≤4＋m，∴解得m＝1.

2.证明：

由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形．

（1）因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC.

因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO平面ABC，所以BO⊥面PAC.

因为PA平面PAC，所以BO⊥PA.

在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，

所以OE⊥PA.

又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO.

（2）连AF交BE于Q，连QO.因为E、F、O分别为边PA、PB、AC的中点，所以＝2，且Q是△PAB的重心，于是＝2＝，所以FG∥QO.因为FG平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO.

（注：

第

（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得）

3.解：

（1）由题知：

解得故f（x）＝x2－x.

（2）Tn＝a1a2…an＝，

Tn－1＝a1a2…an－1＝（n≥2），

∴an＝＝n－1（n≥2）．

又a1＝T1＝1满足上式，所以an＝n－1（n∈N*）．

4.解：

（1）①ON＝，OM＝x，MN＝－x，

∴y＝x，x∈.

②PN＝sinθ，ON＝cosθ，OM＝×

sinθ＝sinθ，

MN＝ON－OM＝cosθ