“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案Word文件下载.doc

“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案Word文件下载.doc

《“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案Word文件下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案Word文件下载.doc（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

8．设，，，…，是个互不相同的正整数，且，则的最大值是。

9．如图，是的直径，是的切线，交于点，若，则。

10．若正整数，，满足方程组，则的最大值为。

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）

11．若关于的方程有两个不相等的整数根，求的值。

12．如图，为的垂心，圆为的外接圆。

点、为以为圆心、长为半径的圆与圆的交点，为线段的垂直平分线与圆的交点。

求证：

（1）垂直平分线段；

（2）。

13．对于整数，用表示所有小于的素数的乘积。

求满足条件的所有正整数。

14．在一个（行，列，）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：

（1）每一列所填的数都是1，2，3，…，的一个排列；

（即在每一列中，1，2，3，…，这个数出现且仅出现1次）

（2）每一行个的数和都是34。

当上述的填数方式存在时，求的所有可能取值。

【答案】B

【解答】如图，设轴于点。

依题意，，。

所以，，，。

因此，点的坐标为。

【答案】A

【解答】依题意，，为方程的两个不同实根。

因此，由韦达定理得，，。

。

或解：

【答案】D

【解答】方程化为………………①

若方程①有两个相等实根，则，。

时，方程①的根，符合要求。

若是方程①的根，则，，此时，方程①的另一个根为，符合要求。

所以，符合条件的有，，，其总和为。

【答案】C

（第4题）

【解答】依题意，。

由为的内心知，。

所以，由等比定理知，。

【解答】由，得，。

∵，当且仅当，即，，或，时等号成立。

∴的最小值为，的最小值为，即。

∵，当且仅当，即，或，时等号成立。

∴的最大值为，的最大值为，即。

∴。

由，得，。

设，若，则；

时，，将代入，

得，即，………………①

由，解得。

将代入方程①，解得，；

代入方程①，解得，。

∴的最大值为，最小值为。

因此，，，。

【答案】（个人觉得还要补充，因为是一次函数）

【解答】易得直线对应的一次函数的解析式为。

由，得………………①

依题意，方程①有的解。

∴，且，解得。

故的取值范围为。

或通过作图求解。

【答案】

（第7题）

【解答】如图，过点作交的延长线于点，则。

又由，知。

【答案】63

【解答】依题意，，，，…，。

于是，，。

又当，，，…，，时，

∴所求的最大值为63。

【答案】

【解答】由为的直径知，。

设，则，。

（第9题）

由条件易得，

∴，，即。

结合，得。

（或由射影定理得，即）

∴，解得或（舍去）。

∴，。

【答案】84

【解答】由，得

结合，，为正整数得，，于是。

∴，，。

∴当，，或，，时，有最大值84。

【解答】设，是方程两个不相等的整数根，则，。

∴，均为整数。

因此，为整数。

……………………5分

∴为完全平方数。

设（为整数，且）。

则。

于是，。

……………………10分

由于，奇偶性相同，且。

∴或。

解得或。

……………………………15分

经检验，符合要求。

…………………………20分

另解：

设，（）是方程两个不相等的整数根。

两式相减，得。

……………………5分

将代入①，得。

……………………10分

由于，为整数，且，因此，或。

……………………………15分

当时，；

时，。

【解答】

（1）解法一：

如图，连结，，。

由为的垂心知，。

（第12题）

由、、、四点共圆，得。

……………5分

又，，

∴垂直平分线段。

……………………10分

解法二：

作点关于直线的对称点。

连结，，。

则，点在以为圆心、长为半径的圆上。

……………………5分

又，为的垂心，

∴，、、、四点共圆。

因此，点也在圆上。

∴、两点重合。

因此，、关于直线对称，即垂直平分线段。

……………10分

（2）连结，。

依题意有。

结合为线段的垂直平分线与圆的交点，知为圆的直径。

又由

（1），以及为的垂心知，，。

因此，、、三点共线。

……………………15分

∴。

……………………20分

或：

通过，证明。

或通过证明四边形等腰梯形，证明。

【解答】解法一：

若，则整除，但不能整除。

因此，不符合要求。

故，。

………………………………10分

若，则，由，得。

…………15分

若，则，由，得正整数不存在。

∴满足条件的正整数只有1个，。

…………………20分

由，得。

由于是偶数，但不是4的倍数，因此，是奇数。

………………5分

若，则含有奇数的素数因子，即为奇素数，且整除。

由知，整除。

由此整除1024，矛盾。

故，，即，且为奇数。

……………………10分

∵时，，

又，。

即，5，7，9，11。

…………………15分

将，5，7，9，11分别代入验证，

时，，，不符合要求。

时，，，符合要求。

【解答】依题意，每列个数的和为，共列。

又每行个数的和为34。

所以，，。

……………………5分

又。

所以，，，，。

当时，每一行1个数的和互不相同，与

（2）矛盾，即符合条件的填数方式不存在。

舍去。

记为第行，第列所填写的数。

当时，令，。

即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，33；

第2列自上而下各行所填的数依次为33，32，31，…，1时，符合要求。

………………………10分

当时，令，，，。

即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，16；

第2列自上而下各行所填的数依次为16，15，14，…，1；

第3列同第1列；

第4列同第2列时，符合要求。