“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案Word文件下载.doc

1、8设，是个互不相同的正整数，且，则的最大值是 。9如图，是的直径，是的切线，交于点，若，则 。10若正整数，满足方程组，则的最大值为 。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11若关于的方程有两个不相等的整数根，求的值。12如图，为的垂心，圆为的外接圆。点、为以为圆心、长为半径的圆与圆的交点，为线段的垂直平分线与圆的交点。求证：（1）垂直平分线段；（2）。13对于整数，用表示所有小于的素数的乘积。求满足条件的所有正整数。14在一个（行，列，）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：（1）每一列所填的数都是1，2，3，的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，这个数出现且仅出现1次）（2）

2、每一行个的数和都是34。当上述的填数方式存在时，求的所有可能取值。【答案】 B 【解答】如图，设轴于点。依题意，。所以，。因此，点的坐标为。【答案】 A 【解答】依题意，为方程的两个不同实根。因此，由韦达定理得，。或解：【答案】 D 【解答】方程化为 若方程有两个相等实根，则，。时，方程的根，符合要求。若是方程的根，则，此时，方程的另一个根为，符合要求。所以，符合条件的有，其总和为。【答案】 C （第4题）【解答】依题意，。由为的内心知，。所以，由等比定理知，。【解答】由，得，。 ，当且仅当，即，或，时等号成立。 的最小值为，的最小值为，即。 ，当且仅当，即，或，时等号成立。 的最大值为，的最

3、大值为，即。 。 由，得，。设，若，则；时，将代入，得，即， 由，解得。将代入方程，解得，；代入方程，解得，。 的最大值为，最小值为。因此，。【答案】 （个人觉得还要补充，因为是一次函数）【解答】易得直线对应的一次函数的解析式为。由，得 依题意，方程有的解。 ，且，解得。故的取值范围为。或通过作图求解。【答案】 （第7题）【解答】如图，过点作交的延长线于点，则。又由，知。【答案】 63【解答】依题意，。于是，。又当，时， 所求的最大值为63。【答案】 【解答】由为的直径知，。设，则，。（第9题）由条件易得， ，即。结合，得。（或由射影定理得，即） ，解得或（舍去）。 ，。【答案】 84【解答】

4、由，得结合，为正整数得，于是。 ，。 当，或，时，有最大值84。【解答】设，是方程两个不相等的整数根，则，。 ，均为整数。因此，为整数。 5分 为完全平方数。设（为整数，且）。则。于是，。 10分由于，奇偶性相同，且。 或。 解得或。 15分经检验，符合要求。 20分另解：设，（）是方程两个不相等的整数根。两式相减，得。 5分将代入，得。 10分由于，为整数，且，因此，或。 15分当时，；时，。【解答】（1）解法一：如图，连结，。由为的垂心知，。（第12题）由、四点共圆，得。 5分又， 垂直平分线段。 10分解法二：作点关于直线的对称点。连结，。则，点在以为圆心、长为半径的圆上。 5分又，为的

5、垂心， ，、四点共圆。因此，点也在圆上。 、两点重合。因此，、关于直线对称，即垂直平分线段。 10分（2） 连结，。依题意有。结合为线段的垂直平分线与圆的交点，知为圆的直径。又由（1），以及为的垂心知，。因此，、三点共线。 15分 。 20分或：通过，证明。或通过证明四边形等腰梯形，证明。【解答】解法一：若，则整除，但不能整除。因此，不符合要求。故，。 10分若，则，由，得。 15分若，则，由，得正整数不存在。 满足条件的正整数只有1个，。 20分由，得。由于是偶数，但不是4的倍数，因此，是奇数。 5分若，则含有奇数的素数因子，即为奇素数，且整除。由知，整除。由此整除1024，矛盾。故，即，且

6、为奇数。 10分 时，又，。即，5，7，9，11。 15分将，5，7，9，11分别代入验证，时，不符合要求。时，符合要求。【解答】依题意，每列个数的和为，共列。又每行个数的和为34。所以，。 5分又。所以，。 当时，每一行1个数的和互不相同，与（2）矛盾，即符合条件的填数方式不存在。舍去。记为第行，第列所填写的数。当时，令，。即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，33；第2列自上而下各行所填的数依次为33，32，31，1时，符合要求。 10分当时，令，。即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，16；第2列自上而下各行所填的数依次为16，15，14，1；第3列同第1列；第4列同第2列时，符合要求。