苏科版八年级数学上册 全等三角形专题练习word版文档格式.docx

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【答案】

（1）EF＝BE＋FD；

（2）EF＝BE＋FD仍然成立；

（3）210；

（4）MN＝．

【解析】

试题分析：

（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；

（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；

（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；

（4）在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，证明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，再证MN=ND，则求出ND的长度，即可得到答案．

解：

（2）EF＝BE＋FD仍然成立．

证明：

如答图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B＋∠ADC＝180°

，∠ADG＋∠ADC＝180°

，∴∠B＝∠ADG，

在△ABE与△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG．

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．

又∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－∠BAD＝∠BAD，

∴∠EAF＝∠GAF．

在△AEF与△AGF中，AE=AG，∠EAF＝∠GAF，AF=AF，

∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．

又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．

∴EF＝BE＋FD．

（3）如答图2，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，

∵∠AOB＝30°

＋90°

＋20°

＝140°

，∠FOE＝70°

＝∠AOB，

又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°

＋120°

＝180°

，符合探索延伸中的条件，

∴结论EF＝AE＋FB成立．

∴EF＝AE＋FB＝1.5×

（60＋80）＝210（海里）.

答：

此时两舰艇之间的距离为210海里；

（4）如答图3，在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，

在△ACD与△ABM中，AC=AB，∠CAD=∠BAM，AD=AM，

则△ACD≌△ABM，∴CD=BM=1，∠ACD=∠ABM=45°

，

∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°

∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°

=2∠NAD，

又∵AM=AD，∠NCD+∠MAD=（∠ACD+∠ACB）+90°

=180°

∴对于四边形AMCD符合探索延伸，

则ND=MN，

∵∠NCD=90°

，CD=1，CN=3，

∴MN=ND=．

2．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝,∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.

（1）求证：

△ACD≌△BCE；

（2）如图2，在图1的基础上，延长BE至Q,P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.

（3）连接OE，直接写出线段OE的最小值．

（1）证明见解析；

（2）PQ=6；

（3）OE=

根据即可证得

首先过点作于，由等腰三角形的性质，即可求得则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得的长．

时，取得最小值.

试题解析：

证明：

∵△ABC与△DCE是等腰三角形，

∴AC=BC,DC=EC,

∴∠ACD=∠BCE；

在△ACD和△BCE中，

首先过点作于，

（2）过点C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，

∴在中,

最小值为：

3．

（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°

（如图①）.求证：

EB=AD；

（2）若将

（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），

（1）的结论是否成立，并说明理由．

（1）证明见解析

（2）证明见解析

（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°

，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°

，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；

（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同

（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.

（1）证明：

如图，作DF∥BC交AC于F，

则△ADF为等边三角形

∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB，

∠DEC+∠EDB=60°

∠DCB+∠DCF=60°

，

∴∠EDB=∠DCA，DE=CD，

在△DEB和△CDF中，

∴△DEB≌△CDF，

∴BD=DF，

∴BE=AD.

（2）.EB=AD成立；

理由如下：

作DF∥BC交AC的延长线于F，如图所示：

同

（1）得：

AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，

又∵∠DBE=∠DFC=60°

∴△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，

∴EB=AD.

点睛：

此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.

4．

（1）如图

（1），已知：

在△ABC中，∠BAC＝90°

，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:

DE=BD+CE.

（2）如图

（2），将

（1）中的条件改为：

在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?

如成立,请你给出证明;

若不成立,请说明理由.

（3）拓展与应用：

如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.

（1）见解析

（2）成立（3）△DEF为等边三角形

∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900．

∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．

∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．

又AB="

AC"

，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．

∴DE="

AE+AD="

BD+CE．

（2）成立．证明如下：

∵∠BDA=∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=1800—．∴∠DBA=∠CAE．

∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．

∴DE=AE+AD=BD+CE．

（3）△DEF为等边三角形．理由如下：

由

（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．

∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．

∴△DEF为等边三角形．

（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．

（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．

（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA=∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．

5．如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点时停止运动．设运动的时间为秒，连接、．

（1）填空：

______；

（2）当且点运动的速度也是时，求证：

；

（3）若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值．

（1）8;

（2）见解析；

（3）或4.

【分析】

（1）直接可求△ABC的面积；

（2）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可求：

∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°

，即BD=CD，且BE=CF，即可证△CDF≌△BDE，可得DE=DF；

（3）分△ADF的面积是△BDE的面积的两倍和△BDE与△ADF的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x的值．

【详解】

（1）∵S△ABC=AC×

BC

∴S△ABC=×

4×

4=8（cm2）

故答案为：

8

（2）如图：

连接CD

∵AC=BC，D是AB中点

∴CD平分∠ACB

又∵∠ACB=90°

∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°

∴CD=BD

依题意得：

BE=CF

∴在△CDF与△BDE中

∴△CDF≌△BDE（SAS）

∴DE=DF

（3）如图：

过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，

∵AD=BD，∠A=∠B=45°

，∠AND=∠DMB=90°

∴△ADN≌△BDM（AAS）

∴DN=DM

当S△ADF=2S△BDE．

∴×

AF×

DN=2×

×

BE×

DM

∴|4-3x|=2x

∴x1=4，x2=

综上所述：

x=或4

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问