高中教材变式题立体几何Word下载.doc
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图1－2
由于底面的高为1，所以．
故所求全面积
．
这个几何体的体积
（Ⅲ）因为，所以与所成的角是．
在中，，
故．
2．（人教A版，必修2，P20．例3）
如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
图2
变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图（单位：
cm）．
（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；
（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．
图2－1
解（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－2所示．
（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为cm）．
所以所求表面积，
图2－2
所求体积．
变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图（单位：
（Ⅲ）设异面直线、所成角为，求．（理科考生）
图2－3
（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－4所示．
（Ⅱ）这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体．
图2－4
由，，
可得．
故所求几何体的全面积
所求几何体的体积
（Ⅲ）由，且，可知，
故为异面直线、所成的角（或其补角）．
由题设知，，
取中点，则，且，
．
由余弦定理，得
．
3．（北师大版．必修2．P31．第4题）
如图3，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：
四边形是平行四边形
图3
变式题：
如图3－1．已知、分别是正方体的棱和棱的中点．
图3－2
（Ⅰ）试判断四边形的形状；
（Ⅱ）求证：
平面平面．
解（Ⅰ）如图3－2，取的中点，连结、．
∵、分别是和的中点，
图3－1
∴，
在正方体中，有
， ∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
又、分别是、的中点，
∴四边形为平行四边形，
故．
∴四边形是平行四边形．
又≌，
故四边形为菱形．
（Ⅱ）连结、、． ∵四边形为菱形，
，
∴平面．
又平面，
又，
故平面平面
4．（人教A版，必修2，P74．例2）
图4
如图4，在正方体中，求直线与平面所成的角．
图4－1
如图4－1，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的的垂线交侧棱于点，交于点．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值．
（Ⅰ）如图4－2，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．
设，则．
图4－2
∵，∴．
∴，∴，．
∴且．
∴且．∴平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，又，
∴与平面所成角的正弦值为．
5．（人教A版，必修2，P87，第10题）
如图5，已知平面，且是垂足，试判断直线与的位置关系？
并证明你的结论．
图5
图5－1
变式题5－1，如图5，已知平面，且是垂足．
（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．
变式题5－1，如图5，已知平面，
且是垂足．
解（Ⅰ）因为，所以．同理．
又，故平面．
（Ⅱ）设与平面的交点为，连结、．
因为平面，所以，
所以是二面角的平面角．
又，所以，即．
在平面四边形中，，
所以．
故平面平面．
图5－2
变式题5－2．如图5－1，已知直二面角，与平面、所成的角都为，．
为垂足，为垂足．
（Ⅰ）求直线与所成角的大小；
（Ⅱ）求四面体的体积．
（Ⅰ）如图5－2，在平面内，作，连结、．则四边形为平行四边形，所以，即为直线与所成的角（或其补角）．
因为．
所以．同理．
又与平面、所成角为，所以，，所以，．
在中，，从而．
因为，且为平行四边形，
又，所以．
故平面，从而．
在中，．
所以，
即直线与所成角的大小为．
（Ⅱ）在中，，所以．
三角形的面积，
故四面体的体积
6．（人教A版，必修2，P87，B组第1题）
如图5，边长为2的正方形ABCD中，
（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，求证：
（2）当时，求三棱锥的体积．
图6
变式题．如图5－1，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．
；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
图6－1
解（Ⅰ）在中，，
在中，，
∵，
∵平面平面，且交线为，图6－2
∵平面，
（Ⅱ）设与相交于点，由（Ⅰ）知，
∴平面，
∴平面平面，且交线为，
如图6－2，作，垂足为，则平面，
连结，则是直线与平面所成的角．
由平面几何的知识可知，∴．
在中，，可求得．
∴直线与平面所成的角的正弦值为．
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