立体几何异面直线成角求法Word文档格式.docx
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・•・GM//BN,且GM=BN.
BNMG为平行四边形，AMN.7BG
TA的射影为B.
•••AB丄面BCDE・
Z又TG为中点，•'
•EG丄AE・
B即MN丄AE・
EAMN与AE所成角的人小等于90度.
A故
填
Z三、平移（或构造）几何体
B有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.&
A例3（2005年全国高考天津卷）如图，丄平面ABC,ZACB=90°
且\\
^PA=AC=BC=a，则异面直线PB与4C所成角的正切值等于.A\
yc
将此多面体补成正方体DECA—D'
ECP,”与AC所成的角的
人小即此正方体主对角线刖与棱BD所成角的人小，在RtAPDB中，即
tanZDBA=—=.故填
DB
点评：
本题是将三棱柱补成正方体DBCA—D0CP从而将问题简化.
异面直线练习
一.选择题
1•分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）
（A）不平行的直线（E）不相交的直线
（C）相交直线或平行直线（D）既不相交又不平行直线
2.已知EF是异面直线a、b的共垂线，直线/〃EF,贝畀与a、b交点的个数为（）
4•设a,b,c是空间的三条直线，下面给出三个命题：
①如果a，b是异面直线，b、c是异面
直线，则a,c是异面直线；
②如果比b相交，b,c也相交，则a,c相交；
③如果比b共面,b,c也共面，则a，c共面.上述命题中，真命题的个数是
（A）3个（E）2个（C）1个（D）0个
5.异面直线a、b成6（T,直线Mm则直线b与c所成的角的范|韦1为
（A）[30°
90°
]（B）[60°
]
（C）[30°
60°
]（D）[60°
120°
6.如图：
正四面体S-ABC中，如果E,F分别是SC,AB的中点，那么
异面直线EF与SA所成的角等于（）c
（A）90°
（B）45°
（C）6（T（D）30°
7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A】B】和的
中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）
（A）—（B）—（C）-（D）-
21055
8.右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
N
\
c
M
/
A
B
1
）
EM与ED平行；
②CN与EE是异面直线：
2③CN与BM成60°
角；
®
DM与BN垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是
（A）®
@®
（B）@®
（C）③④（D）②③④
9.梯形ABCD中AB/7CD,ABU平面a,CD（Z平面a,则直线CD与平面a内的直线的位置关系只能是（）
（A）平行（E）平行和异面（C）平行和相交（D）异面和相交
10・在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE:
EF=AF:
FD
=1：
4,又H、G分别为EC、CD的中点，贝IJ（）
（A）ED//平面EFGH且EFGH是矩形（E）EF//平面ECD且EFGH是梯形
（C）HG//平面ABD且EFGH是菱形（D）HE〃平面ADC且EFGH是平行四边形
二、填空题
11.如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，A
G,H,LJ分别为AF,AD,BE,DE的中点，将ZiABC沿
DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为.
12・在四面体ABCD中，若AC与ED成60"
角，且AC=ED=m则连
接AB、EC、CD、DA的中点的四边形面积为.
13・在长方体ABCD-AiBiCiDi中，AB=EC=3,AAi=4,则异面直线ABi
AiD所成的角的余弦值为•A
14.把边长为a的正方形ABCD沿对角线ED折起，
使A、C的距离等于a,如图所示，则异面直线AC
和BD的距离为・
三、解答题
15・已知AB、EC、CD为不在同一平面内的三条线段，AB,EC,CD的中点P.Q、R满足PQ=2・QR=V5,PR=3,求AC与ED所成的角.
16.已知P为ZiABC所在平面外的一点，PC丄AB,PC=AB=2,E、F分别为PA和EC的
中占
（1）求证：
EF与PC是异面直线;
（2）EF与PC所成的角；
（3）线段EF的长.
17.如图，AB和CD是两异面直线，ED是它们的公垂线，AB=CD,M是ED的中点，N
是AC的中点・
（1）求证：
MN丄AC：
（2）当AB=CD=a,ED=b,AC=c时，求MN的长.
18・（如图）已知P、Q是棱长为a的正方体ABCD-AiBiCiDi的面AA】D】D和A】E]C】D]
的中心・
（1）求线段PQ的长；
（2）证明：
PQ/7AA1B1B.
§
异而直线
一、复习要点
1.木节内容要点为：
异而□线的定义和判定，异面直线所成的角，异而直线的距离.
2.异而直线的定义和判定及异面直线所成的角绘频考点，也绘木节的重点.
3.要把“不同在任何一个平而内的两条直线”和“分别在两个平而内的两条直线”的侖义区别开，后者不一定是异面宜线.
4.在进一步复习理解异而直线的同时，要注意把这部分内容和平而联系在一起，即和线而、而面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性.
5.对异面直线所成的角，要注意：
1深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想：
2异面直线所成角的范围为0°
V0£
90°
故有时平移后需求其补角；
3解题时，应首先考虑两条异而口线是否互相亚直，可山三亚线定理及其逆定理或线而亚直来完成:
4应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有収中点、作平行线、补体（形〉等：
5理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角.
6.高考求异面直线的距离仅限于给出公亚线的情形.例见1999年高考立体几何解答题的第2问.
二、例题讲解
例1已知a、b、c绘两两异面的三条直线，且a丄b,d是a、b的公垂线.若c丄a,那么c与d有何位置关系？
并说明理由.
讲解：
构造恰当的几何体足判断空间诸条直线位担关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点.根据木题的特点，可考虑构造正方体.
构造正方体ABCD-A,B,C＞D,,如图7-1所示，因为AB与CG异面且亚直，BC是它们的公亚线,
所以可记AB、CC,.BC分别为a、
图7-1
因为c与a、b均异面，且c丄a,注意到a丄侧面ADD.A.,因此侧而ADD.A.内的任一直线均与a亚直.从图中可以看出，侧而ADD,A,的八》和心1）均与a、b异面，且均与a亚直，所以可记A.1）＞或AJ）为c.此时山A|Di〃B’Ci〃BC知c〃d；
由AiD与BC异而知c与d为异而宜线.
综上可知c与d平行或异面.
正方体是一个很简单且很重要的几何模型.构造它可直观、简捷地判断线线、线而关系，特别是有关异面直线的问题易于解决.
下而一组题目供读者思考练习：
（1）无论怎样选择平面，两条异而直线在该平而内的射影都不可能是＜）.
A.两条平行宜线
B.两条相交直线
C.一条□线和直线外一点
D.两个点
（2）在空间中，记集合M=｛与直线1不相交的直线｝,集合N=｛与直线1平行的直线｝,则H与、的关
系是（）.
A.M=N
B.MG
C.
D.不确定
（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）.
A.若a〃b,b〃c,则a〃c
B.若a丄b,b丄c,则a丄c
C・若a与b相交，b与c相交，则a与c相交
D.若a与b异而，b与c异面，则a与c异而
（4）同时与两条异而直线都相交的两条口线一定不绘（）.
A.异面宜线
B.相交直线
C.平行宜线
D.垂直直线
（5）如图7-2所示，正方体ABCD-XBiCiD冲，EF是异而宜线A丨D和AC的公亚线，则直线EF
和BI”的关系是（〉・
图7-2
A・异面
B.平行
C.相交且垂直
D.相交且不垂直
例2在正三棱柱ABC-A.B.C,中，若AB=，吃BBt,则AB.^C,B所成的角的大小为
（）・
A.60°
B.90。
C・105°
D.75°
根据题设作出图形（图7-3）.欲求异面直线ABi与6B所成角的大小，需进行异而直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补而、补体）向体外发展.若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：
解法1・设AB.B.B.B.C,的中点依次为P、H、F,连结PH.HF・显然有PH〃=（1/2）AB,,HF〃=（1/2）CiB,则ZPHE即为所求异面直线所成的角.连结PF,并设BB：
=b则正三棱柱的底而边长为=扭.
易求得pH=HF=（32/2）・
取BC的中点E,连结PE、EF•易知ZkPEF是RtA・
在RtAPEF中，求得PF2=（3/2）・
显然有PH'
+HF2=PF2.
故ZPHE=90°
，选B・
若考虑体外平移，则可通过补而或补体来实现平移.从而又有如下两种方法：
解法2・如图7-4.延长AB到D,使BD=AB,作DDi//=AAi,连B：
Di.BDi.
图7-4
•••AB】〃BDi・
则ZC.BD】即为所求异面直线所成的角.
又•••BCI2+BDl2=C1D1z,
•••ZC】BDi=90°
・
解法3.可从BM乍一射线与B「平行，III于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB,C,C所在平面上，但却位于已知三棱柱外而，因而无法寻求与已知条件的联系.为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱.
作直三棱柱A,使Ci为CC2之中点（图7-5〉,连结AC-
•••BB】〃=C】C“
•••C|B〃C?
Bi,则ZAB,C2即为所求异面宜线所成的角.
易求得ZAB】C=90°
・
究竟选择休内还是体外平移，
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