立体几何异面直线成角求法Word文档格式.docx

1、2 2 GM/BN,且 GM=BN.BNMG为平行四边形，AMN.7BGTA的射影为B.AB丄面BCDEZ 又TG为中点，EG丄AEB 即MN丄AEE A MN与AE所成角的人小等于90度.A 故填Z三、平移（或构造）几何体B 有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程. &A 例3（2005年全国高考天津卷）如图，丄平面ABC, ZACB = 90且 PA = AC=BC = a，则异面直线PB与4C所成角的正切值等于 . A y c将此多面体补成正方体DECA DECP, ”与AC所成的角的人小即此正方体主对角线刖与棱BD所成角的人小，在Rt A PDB中，即tanZDBA = =

2、.故填DB点评：本题是将三棱柱补成正方体DBCA D0CP 从而将问题简 化.异面直线练习一.选择题1 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ）（A）不平行的直线 （E）不相交的直线（C）相交直线或平行直线 （D）既不相交又不平行直线2.已知EF是异面直线a、b的共垂线，直线/EF,贝畀与a、b交点的个数为 （ ）4设a, b,c是空间的三条直线，下面给出三个命题：如果a，b是异面直线，b、c是异面直线，则a, c是异面直线；如果比b相交，b,c也相交，则a, c相交；如果比b共面, b,c也共面，则a，c共面.上述命题中，真命题的个数是（A） 3 个（E） 2 个（C） 1 个（D）

3、 0 个5.异面直线a、b成6（T ,直线Mm则直线b与c所成的角的范|韦1为（A） 30 , 90 （B） 60 （C）30 , 60 （D） 60 , 1206.如图：正四面体S-ABC中，如果E, F分别是SC, AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）c（A） 90 （B） 45 （C） 6（T （D） 307.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A】B】和的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ）（A） （B） （C） - （D）-210 5 58.右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，NcM/AB1）EM与ED平行；CN与EE是异面

4、直线：2CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（A） （B） （C） （D）9.梯形ABCD中AB/7CD, ABU平面a, CD（Z平面a ,则直线CD与平面a内的直线的 位置关系只能是 （ ）（A）平行 （E）平行和异面 （C）平行和相交 （D）异面和相交10在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE : EF=AF : FD=1 ： 4,又H、G分别为EC、CD的中点，贝IJ （ ）（A） ED/平面EFGH且EFGH是矩形 （E） EF/平面ECD且EFGH是梯形（C） HG/平面ABD且EFGH是菱形 （D） HE平面ADC且EFGH是

5、平行四边形二、填空题11.如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点， AG, H, L J分别为AF, AD, BE, DE的中点，将ZiABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为 .12在四面体ABCD中，若AC与ED成60角，且AC=ED = m则连接AB、EC、CD、DA的中点的四边形面积为 .13在长方体 ABCD-AiBiCiDi中，AB=EC = 3, AAi=4,则异面直线 ABiAiD所成的角的余弦值为 A14.把边长为a的正方形ABCD沿对角线ED折起，使A、C的距离等于a,如图所示，则异面直线AC 和BD的距离为 三、解答题15已知AB、E

6、C、CD为不在同一平面内的三条线段，AB, EC, CD的中点P. Q、R满 足PQ=2QR= V5 , PR=3,求AC与ED所成的角.16.已知P为ZiABC所在平面外的一点，PC丄AB, PC=AB=2, E、F分别为PA和EC的中占（1） 求证：EF与PC是异面直线;（2） EF与PC所成的角；（3） 线段EF的长.17.如图，AB和CD是两异面直线，ED是它们的公垂线，AB=CD, M是ED的中点，N是AC的中点（1）求证：MN丄AC：（2）当 AB = CD=a, ED = b, AC = c 时，求 MN 的长.18（如图）已知P、Q是棱长为a的正方体ABCD-AiBiCiDi的

7、面AA】D】D和A】EC】D的中心（1） 求线段PQ的长；（2） 证明：PQ/7AA1B1B. 异而直线一、 复习要点1.木节内容要点为：异而线的定义和判定，异面直线所成的角，异而直线的距离.2.异而直线的定义和判定及异面直线所成的角绘频考点，也绘木节的重点.3.要把“不同在任何一个平而内的两条直线”和“分别在两个平而内的两条直线”的侖义区别开， 后者不一定是异面宜线.4.在进一步复习理解异而直线的同时，要注意把这部分内容和平而联系在一起，即和线而、而面平 行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性.5.对异面直线所成的角，要注意：1深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗

8、透的“空间向平面转化”的思想：2异面直线所成角的范围为0 V090 ,故有时平移后需求其补角；3解题时，应首先考虑两条异而口线是否互相亚直，可山三亚线定理及其逆定理或线而亚直来完成:4应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有収中点、作平行线、补体（形等：5理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角.6.高考求异面直线的距离仅限于给出公亚线的情形.例见1999年高考立体几何解答题的第2问.二、 例题讲解例1已知a、b、c绘两两异面的三条直线，且a丄b, d是a、b的公垂线.若c丄a,那么c 与d有何位置关系？并说明理由.讲解：构造恰当的几何体足判断空间诸条直线位担关系的最佳思维选择，因为几何体

9、具有直观和易于 判断之优点.根据木题的特点，可考虑构造正方体.构造正方体A B C D-A , B , C D ,如图7-1所示，因为AB与CG异面且亚直，BC是它们的公亚线,所以可记AB、CC,. BC分别为a、图7-1因为c与a、b均异面，且c丄a,注意到a丄侧面ADD.A.,因此侧而ADD.A.内的任一直线 均与a亚直.从图中可以看出，侧而A D D , A , 的八和心1）均与a、b异面，且均与a亚直，所 以可记A. 1）或AJ）为c.此时山A|DiBCiBC知cd；由AiD与BC异而知c与d为异而 宜线.综上可知c与d平行或异面.正方体是一个很简单且很重要的几何模型.构造它可直观、简

10、捷地判断线线、线而关系，特别是有关 异面直线的问题易于解决.下而一组题目供读者思考练习：（1） 无论怎样选择平面，两条异而直线在该平而内的射影都不可能是 ）.A.两条平行宜线B.两条相交直线C.一条线和直线外一点D.两个点（2） 在空间中，记集合M=与直线1不相交的直线,集合N=与直线1平行的直线,则H与、的关系是（ ）.A.M=NB.MGC.D.不确定（3） a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（ ）.A.若 ab,bc,则 acB.若a丄b, b丄c,则a丄cC若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D.若a与b异而，b与c异面，则a与c异而（4） 同时与两条异而直线

11、都相交的两条口线一定不绘 （ ）.A.异面宜线B.相交直线C.平行宜线D.垂直直线（5） 如图7-2所示，正方体ABCD-X BiCiD冲，EF是异而宜线A丨D和AC的公亚线，则直线EF和BI”的关系是（ 图7-2A异面B.平行C.相交且垂直D.相交且不垂直例2在正三棱柱ABC-A.B.C,中，若AB =，吃BBt,则AB.C, B所成的角的大小为（ ）A.60B.90。C 105D. 75根据题设作出图形（图7-3）.欲求异面直线ABi与6 B所成角的大小，需进行异而直线的平 移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补而、补体）向体外发展.若考虑体内平移，则常常通过作 出中位线达到平移目的，

12、从而有：解法1设A B. B. B. B.C,的中点依次为P、H、F,连结PH. H F显然有PH= （1/2） AB, HF= （1/2） CiB,则ZPHE即为所求异面直线所成的角.连结PF,并设BB：=b则正 三棱柱的底而边长为=扭.易求得p H = H F= （32 /2）取BC的中点E,连结PE、EF易知ZkPEF是RtA在 R t AP E F 中，求得 P F2= （3/2）显然有 P H + H F 2=P F2.故ZP H E=90，选B若考虑体外平移，则可通过补而或补体来实现平移.从而又有如下两种方法：解法 2如图 7-4.延长 AB 到 D,使 B D = A B ,作

13、D D i / = A A i,连 B： Di. B D i.图7-4 A B 】 B D i 则ZC. B D】即为所求异面直线所成的角.又 BCI2+BDl2=C1D1z, ZC】BDi=90 解法3.可从BM乍一射线与B平行，III于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB,C,C所在平面 上，但却位于已知三棱柱外而，因而无法寻求与已知条件的联系.为了解决这一难点，可在已知三棱柱的 下面作一个同样的三棱柱.作直三棱柱A, 使Ci为CC2之中点（图7-5,连结AC- B B 】 =C 】C “ C|BC?Bi,则ZA B,C2即为所求异面宜线所成的角.易求得ZA B】C=90究竟选择休内还是体外平移，