复数的三角形式Word格式文档下载.docx

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（1）

又=1，点（1,1）在第一象限。

所以

（2）

有，点（）在第四象限，所以

想一想：

怎样求复数的辐角?

复数的三角形式有哪些特征？

下列各式是复数的三角形式吗？

（3）

例2把下列复数转化为三角形式

（1）-1；

（2）；

（3）

（1）=1，辐角主值为=，所以

-1=

（2）辐角主值为=，所以

=

（3），由和点在第四象限，得

，

所以=

总结：

复数的代数形式化为复数的三角形式一般方法步骤是：

①求复数的模：

；

②由及点所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；

③写出复数的三角形式。

例3．求复数Z=1+cosθ+isinθ（π<

θ<

2π）的模与辐角主值.

　　分析:

式子中多个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.

　　解:

Z=1+cosθ+isinθ=1+（2cos2-1）+2i·

sincos=2cos（cos+isin）........

（1）

　　∵π<

2π　∴<

<

π,　∴cos<

　　∴

（1）式右端=-2cos（-cos-isin）=-2cos[cos（π+）]+isin（π+）]

∴r=-2cos,ArgZ=π++2kπ（k∈Z）

　　∵<

π　∴π<

π+<

2π，　∴argZ=π+.

　例4．将Z=（π<

3π）化为三角形式，并求其辐角主值.

三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.

====cos2θ+isin2θ

　　∵π<

3π,∴<

2θ<

6π,

　　∴π<

2θ-4π<

2π，∴argZ=2θ-4π

　例5．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.

法一，数形结合

　　由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.

　　显然1≤|Z|≤3,∴|Z|max=3,|Z|min=1,

　　另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知

　　∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈[0,]∪[π,2π）

　　法二:

用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi（x,y∈R）

　　则由|Z-2|≤1得（x-2）2+y2≤1,

　　∴|Z|=≤=,

　　∵（x-2）2+y2≤1,∴（x-2）2≤1,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,

　　∴1≤4x-3≤9,∴1≤|Z|≤3.

例6．求-3-4i的平方根．

　　解法一　利用复数代数形式．设-3-4i的平方根为x+yi（x，y∈R），则有

　　（x+yi）2=-3-4i,　即（x2-y2）+2xyi=-3-4i，　由复数相等条件，得

　　∴-3-4i的平方根是±

（1-2i）．

　　法二　利用复数的三角形式．

练习：

求1的立方根

例7．已知z∈C,|z|=1且z2≠-1,则复数（　）

　　A、必为纯虚数　　B、是虚数但不一定是纯虚数　　C、必为实数　　D、可能是实数也可能是虚数

　　[思路分析]：

选择题，从结论的一般性考虑，若z=±

1，显然A、B选项不成立，分析C、D选项，显然穷举验证不能得出一般结论只能推演

　　解：

[法1]　设z=a+bi,a,b∈R,a2+b2=1,a≠0.

　　则===∈R，故，应选C。

　　[法2]　设z=cosθ+isinθ（θ∈R,且θ≠kπ+），

　　则===∈R。

　　[法3]　∵z·

=|z|2,∴当|z|=1时有z·

=1,

　　∴===∈R.

　　[法4]　∵当|z|=1时有z·

=1，

　　∴==∈R.

　　[法5]　∵复数z为实数的充要条件是z=,

　　而（）=,又∵|z|=1时，=，

　　∴==，∴∈R。

例8．设x,y∈R,z1=2-x+xi,z2=y-1+（-y）i,

　　已知|z1|=|z2|，arg=,

（1）求（）100=?

（2）设z=,求集合A={x|x=z2k+z-2k,k∈Z}中元素的个数。

（1）解：

∵|z1|=|z2|,∴||=1,

　　又arg=,　∴=||（cos+isin）=i,即z1=z2i,

　　∴2-x+xi=[y-1+（-y）i]i

　　即，解得x=y=+,

　　∴（）100=（+i）100=（-+i）50==--i.

（2）[思路分析]：

由

（1）知z=+i，z的特性：

z3=-1=3,|z|=1,=；

z=cos+isin,z2=w,……，z2k+z-2k可怎么理解呢？

（z2）k+（z2）-k,z2k+2k,……

　　解[法1]：

令w=-+i，则z2k+z-2k=wk+w-k,

　　∵w3=1,而k∈z,∴k=

　　当k=3m时，z2k+z-2k=（w3）m+（w3）-m=2,

　　当k=3m+1时，z2k+z-2k=w3m·

w+w-3m·

w-1=w+w-1=w+=-1,

　　当k=3m+2时，z2k+z-2k=w3m·

w2+w-3m·

w-2=w2+w-2=w3·

w-1+w-3·

w=w-1+w=-1,

　　综上可知，集合A中有2个元素。

　　[法2]：

∵|z|=1,∴=,

　　∴z2k+z-2k=z2k+2k=cos+isin+cos-isin=2cos

　　　　　　=

　　由此可判定集合A中有2个元素。

例9．设复数z=cosθ+isinθ（0<

π）,w=,并且|w|=,argw<

求θ。

（93年全国理）

w===

　　　　=tg2θ（sin4θ+icos4θ）

　　∴|w|=|tg2θ|　由|w|=得tg2θ=±

.

　　∵0<

π,故有（i）当tg2θ=时，得θ=或θ=.

　　此时w=（cos+isin），∴argw=<

适合题意。

　　（ii）当tg2θ=-时，得θ=π或θ=π，此时，w=（cosπ+isinπ）.

　　∴argw=π>

不合题意，舍去，

　　故综合（i）,（ii）知，θ=或θ=.

例10：

三角级数求和

令那么对任何自然数k，有于是

另一方面

即

思考与练习

1、利用复数推导三倍角公式

2、若复数z满足，当复数z的辐角为300时，求复数z的模。

3、已知复数,求复数的辐角的主值.

4、设z满足，求z.