复数的三角形式Word格式文档下载.docx

1、（1） 又=1，点（1,1）在第一象限。所以（2）有，点（）在第四象限，所以想一想：怎样求复数的辐角?复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？（3）例2 把下列复数转化为三角形式（1）-1；（2）； （3） （1）=1，辐角主值为=，所以 -1=（2） 辐角主值为=，所以=（3），由和点在第四象限，得，所以=总结：复数的代数形式化为复数的三角形式一般方法步骤是：求复数的模：；由及点所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；写出复数的三角形式。例3求复数Z=1+cos+isin（2）的模与辐角主值. 分析:式子中多个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三

2、角形式，因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cos+isin=1+（2cos2-1）+2isincos=2cos（cos+isin）.（1） 2 ,cos（1）式右端=-2cos（-cos-isin）=-2coscos（+）+isin（+） r=-2cos, ArgZ=+2k（kZ） +2，argZ=+. 例4将Z=（3）化为三角形式，并求其辐角主值. 三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化. =cos2+isin2 3, 26, 2-42， argZ=2-4 例5若Zc，|Z-2|1，求的最大，最小值和argZ范围. 法一，数形结合 由

3、|Z-2|1，知的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离. 显然1|Z|3, |Z|max=3, |Z|min=1, 另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知 AOC=BOC=，argZ0,2） 法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi（x,yR） 则由|Z-2|1得（x-2）2+y21, |Z|=, （x-2）2+y21, （x-2）21, -1x-21, 1x3, 14x-39, 1|Z|3. 例6求-3-4i的平方根 解法一利用复数代数形式设-3-4i的平方根为x+yi（x，yR）

4、，则有 （x+yi）2=-3-4i,即（x2-y2）+2xyi=-3-4i，由复数相等条件，得 -3-4i的平方根是（1-2i） 法二利用复数的三角形式 练习：求1的立方根例7已知zC,|z|=1且z2-1,则复数（ ） A、必为纯虚数B、是虚数但不一定是纯虚数C、必为实数D、可能是实数也可能是虚数 思路分析：选择题，从结论的一般性考虑，若z=1，显然A、B选项不成立，分析C、D选项，显然穷举验证不能得出一般结论只能推演 解：法1设z=a+bi, a,bR, a2+b2=1,a0. 则=R，故，应选C。 法2设z=cos+isin （R,且k+），则=R。法3z=|z|2, 当|z|=1时有z

5、=1, =R. 法4当|z|=1时有z=1， =R. 法5复数z为实数的充要条件是z=, 而（）=, 又|z|=1时，=， =， R。例8设x,yR, z1=2-x+xi, z2=y-1+（-y）i, 已知|z1|=|z2|，arg=, （1）求（）100=? （2）设z=, 求集合A=x|x=z2k+z-2k, kZ中元素的个数。 （1）解：|z1|=|z2|, |=1,又arg=, =|（cos+isin）=i, 即z1=z2i, 2-x+xi=y-1+（-y）ii即，解得 x=y=+, （）100=（+i）100=（-+i）50=-i. （2） 思路分析：由（1）知 z=+i，z的特性：

6、z3=-1=3, |z|=1, =； z=cos+isin, z2=w, ，z2k+z-2k 可怎么理解呢？ （z2）k+（z2）-k, z2k+2k, 解法1：令w=-+i，则z2k+z-2k=wk+w-k,w3=1,而kz, k= 当k=3m时，z2k+z-2k=（w3）m+（w3）-m=2,当k=3m+1时，z2k+z-2k=w3mw+w-3mw-1=w+w-1=w+=-1, 当k=3m+2时，z2k+z-2k=w3mw2+w-3mw-2=w2+w-2=w3w-1+w-3w=w-1+w=-1,综上可知，集合A中有2个元素。法2：|z|=1, =,z2k+z-2k=z2k+2k=cos+i

7、sin+cos-isin=2cos = 由此可判定集合A中有2个元素。例9设复数z=cos+isin（0）, w=, 并且|w|=, argw,求。（93年全国理） w= =tg2（sin4+icos4） |w|=|tg2| 由|w|=得 tg2=. 0, 故有（i）当tg2=时，得=或=. 此时 w=（cos+isin），argw=, 不合题意，舍去，故综合（i）, （ii）知，=或=. 例10：三角级数求和令那么对任何自然数k，有 于是另一方面即思考与练习1、利用复数推导三倍角公式2、若复数z满足，当复数z的辐角为300时，求复数z的模。3、已知复数, 求复数的辐角的主值.4、设z满足，求z.