1、(1) 又=1,点(1,1)在第一象限。所以(2)有,点()在第四象限,所以想一想:怎样求复数的辐角?复数的三角形式有哪些特征?下列各式是复数的三角形式吗?(3)例2 把下列复数转化为三角形式(1)-1;(2); (3) (1)=1,辐角主值为=,所以 -1=(2) 辐角主值为=,所以=(3),由和点在第四象限,得,所以=总结:复数的代数形式化为复数的三角形式一般方法步骤是:求复数的模:;由及点所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只须求出复数的辐角主值即可);写出复数的三角形式。例3求复数Z=1+cos+isin(2)的模与辐角主值. 分析:式子中多个“1”,只有将“1”消去,才能更接近三
2、角形式,因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cos+isin=1+(2cos2-1)+2isincos=2cos(cos+isin).(1) 2 ,cos(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2coscos(+)+isin(+) r=-2cos, ArgZ=+2k(kZ) +2,argZ=+. 例4将Z=(3)化为三角形式,并求其辐角主值. 三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化,再向三角形式转化. =cos2+isin2 3, 26, 2-42, argZ=2-4 例5若Zc,|Z-2|1,求的最大,最小值和argZ范围. 法一,数形结合 由
3、|Z-2|1,知的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心,1为半径的圆面(包括圆周),|Z|表示圆面上任一点到原点的距离. 显然1|Z|3, |Z|max=3, |Z|min=1, 另设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点,由|CA|=1,|OC|=2知 AOC=BOC=,argZ0,2) 法二:用代数形式求解|Z|的最大,最小值,设Z=x+yi(x,yR) 则由|Z-2|1得(x-2)2+y21, |Z|=, (x-2)2+y21, (x-2)21, -1x-21, 1x3, 14x-39, 1|Z|3. 例6求-3-4i的平方根 解法一利用复数代数形式设-3-4i的平方根为x+yi(x,yR)
4、,则有 (x+yi)2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i,由复数相等条件,得 -3-4i的平方根是(1-2i) 法二利用复数的三角形式 练习:求1的立方根例7已知zC,|z|=1且z2-1,则复数( ) A、必为纯虚数B、是虚数但不一定是纯虚数C、必为实数D、可能是实数也可能是虚数 思路分析:选择题,从结论的一般性考虑,若z=1,显然A、B选项不成立,分析C、D选项,显然穷举验证不能得出一般结论只能推演 解:法1设z=a+bi, a,bR, a2+b2=1,a0. 则=R,故,应选C。 法2设z=cos+isin (R,且k+),则=R。法3z=|z|2, 当|z|=1时有z
5、=1, =R. 法4当|z|=1时有z=1, =R. 法5复数z为实数的充要条件是z=, 而()=, 又|z|=1时,=, =, R。例8设x,yR, z1=2-x+xi, z2=y-1+(-y)i, 已知|z1|=|z2|,arg=, (1)求()100=? (2)设z=, 求集合A=x|x=z2k+z-2k, kZ中元素的个数。 (1)解:|z1|=|z2|, |=1,又arg=, =|(cos+isin)=i, 即z1=z2i, 2-x+xi=y-1+(-y)ii即,解得 x=y=+, ()100=(+i)100=(-+i)50=-i. (2) 思路分析:由(1)知 z=+i,z的特性:
6、z3=-1=3, |z|=1, =; z=cos+isin, z2=w, ,z2k+z-2k 可怎么理解呢? (z2)k+(z2)-k, z2k+2k, 解法1:令w=-+i,则z2k+z-2k=wk+w-k,w3=1,而kz, k= 当k=3m时,z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2,当k=3m+1时,z2k+z-2k=w3mw+w-3mw-1=w+w-1=w+=-1, 当k=3m+2时,z2k+z-2k=w3mw2+w-3mw-2=w2+w-2=w3w-1+w-3w=w-1+w=-1,综上可知,集合A中有2个元素。法2:|z|=1, =,z2k+z-2k=z2k+2k=cos+i
7、sin+cos-isin=2cos = 由此可判定集合A中有2个元素。例9设复数z=cos+isin(0), w=, 并且|w|=, argw,求。(93年全国理) w= =tg2(sin4+icos4) |w|=|tg2| 由|w|=得 tg2=. 0, 故有(i)当tg2=时,得=或=. 此时 w=(cos+isin),argw=, 不合题意,舍去,故综合(i), (ii)知,=或=. 例10:三角级数求和令那么对任何自然数k,有 于是另一方面即思考与练习1、利用复数推导三倍角公式2、若复数z满足,当复数z的辐角为300时,求复数z的模。3、已知复数, 求复数的辐角的主值.4、设z满足,求z.
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