线性代数理综合复习资料Word文件下载.docx

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10、下列说法错误的是（）

（1）若

阶线性方程组

的系数矩阵行列式

，则该方程组存在唯一解；

（2）若

，则该方程组只有零解；

（3）一个行列式交换两列，行列式值不变；

（4）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。

二、计算下列行列式

1、

；

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、

10、

第二章矩阵

一、选择填空题

1、设

的秩

2、设

3、设

4、设

，

。

5、设

和

皆为

阶方阵，则下面论断错误的是（）

（1）

（2）

（3）

，其中

为

的伴随矩阵；

（4）如果

或

是

阶矩阵，

阶可逆矩阵，矩阵

的秩为

，矩阵

，则下列结论成立的是（）。

（2）

（4）

与

的关系不定。

8、下面论断错误的是（）。

（1）若干个初等阵的乘积必是可逆阵；

（2）可逆阵之和未必是可逆阵；

（3）两个初等阵的乘积仍是初等阵；

（4）可逆阵必是有限个初等阵的乘积。

阶实方阵

满足关系式

阶单位矩阵，则下列关系式成立的是（）

10、设

则下列等式正确的是（）

二、计算证明题

1、设矩阵

，且已知

，求矩阵

2、已知

为3阶矩阵，

为3阶单位矩阵，满足关系式

阶矩阵，满足

，

（1）证明

可逆；

5、设矩阵

满足

的伴随矩阵，求矩阵

6、已知三阶矩阵

的逆矩阵为

，试求伴随矩阵

的逆矩阵

7、已知

且

是三阶单位矩阵，求矩阵

8、设方阵

，证明

及

都可逆，并求

9、已知

可逆（其中

为单位矩阵），试证

也可逆，且有

第三章向量组的线性相关性和秩

1、设向量组

线性无关，则当

_____时，向量组

线性相关。

2、已知向量组

，则该向量组的秩为。

3、已知向量组

的秩为2，则

4、关于最大无关组，下列说法正确的是（）

（1）秩相同的向量组一定是等价向量组；

（2）一个向量组的最大无关组是唯一的；

（3）向量组与其最大无关组是等价的；

（4）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关。

，则下列说法错误的是（）

存在一个

阶子式不等于零；

的所有

阶子式全等于零；

存在

个列向量线性无关；

个行向量线性无关。

6、对于线性相关和线性无关，下列说法错误的是（）

（1）所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关；

（2）如果一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量；

（3）如果一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示；

阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关。

维向量组

线性无关的充要条件是（）

（1）存在一组不全为零的数

，使得

中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；

中任意两个向量都线性无关；

中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

8、向量组

线性无关的充分条件是（）

均不为零向量；

中任意两个向量的分量不成比例；

中任意一个向量都不能用其余

个向量线性表示；

中有一部分向量线性无关。

9、已知向量组

线性无关，则下列说法正确的是（）

线性无关；

线性无关。

（1）矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩；

（2）矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩；

（3）一个

阶方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关；

（4）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。

1、已知向量组

，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示。

2、已知向量组（

）

（

，如果各向量组的秩分别为

，证明：

的秩为2，试求

的值。

4、已知向量组

5、设向量组

线性无关，证明：

6、设向量组

线性无关，记

证明：

也线性无关。

7、已知向量组

线性相关，试求

8、已知向量组

问：

是线性相关还是线性无关？

为什么？

（2）求

的一个极大无关组。

9、设向量组

10、设向量组

第四章线性方程组

1、线性方程组

有解的充要条件是

2、线性方程组

有解的充要条件是。

3、设

是非齐次线性方程组

所对应的齐次线性方程组，

则下列结论正确的是（）

仅有零解，则

有唯一解；

有非零解，则

有无穷多个解；

（3）若

有无穷多个解，则

仅有零解；

（4）若

有非零解。

4、已知

的两个不同的解，

是对应齐次线性方程组

的基础解系，

是任意常数，则方程组

的通解必是（）

阶矩阵，齐次线性方程组

仅有零解的充要条件是（）

的列向量线性无关；

的列向量线性相关；

的行向量线性无关；

的行向量线性相关。

二、计算题

1、设有线性方程组

，问

为何值时，方程组

有唯一解？

无解？

有无穷多解？

在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。

为何值时，非齐次线性方程组

无解？

3、

有唯一解、无解、无穷多解？

4、问

有解？

并求出解的一般形式。

5、问

6、设有线性方程组

第五章相似矩阵及二次型

1、二次型

的矩阵为

2、二次型

3、若

的特征值为

的特征值为。

4、已知矩阵

相似，且

都是

矩阵，则

等价的充要条件是。

的3个特征值为

8、设

等价的充要条件是

等价，则

等价的充要条件是存在可逆阵

，使

可逆的充要条件是

等价于

阶实方阵，则下面论断错误的是（）

相似的充要条件是存在可逆阵

是反对称矩阵，则

可逆，则

可以表示成若干个初等矩阵的乘积；

是正交矩阵，则

10、对

阶实矩阵

和非零常数

，下列等式中正确的是（　　）

（2）

　　（3）

　　（4）

1、求一正交变换

，将二次型

化为标准形。

2、已知矩阵

求一正交矩阵

为对角矩阵。

3、求一正交变换

，将下列二次型

5、求一正交变换使化二次型

成标准形。

6、求一正交变换

化为标准形式。

第六章线性空间与线性变换

1、设

中的线性变换

把基

变为基

在基

下的矩阵为。

2、设

：

3、下列关于线性空间的说法不正确的是（）

（1）次数为

的实系数多项式的集合对于多项式的加法和数乘运算构成线性空间；

阶矩阵的集合对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间；

维向量的集合对于向量的加法和数乘运算构成线性空间；

（4）齐次线性方程组

所有解的集合对于向量的加法和数乘运算构成线性空间。

是线性空间

中的线性变换，则下列说法错误的是（）

（3）设向量组

线性无关，则向量组

也线性无关；

（4）设向量组

线性相关，则向量组

也线性相关。

5、下列变换不是线性变换的是（）

（1）在

中，

阶矩阵；

为不超过

次的多项式；

1、在线性空间

中，已知两个基：

，求由基

到基

的过渡矩阵。

下的矩阵为

，另取基

，求

在该基下的矩阵

参考答案和提示：

第一章

一．1、9；

2、-64；

3、18；

4、24；

6、33；

7、-36；

8、3；

9、（3）；

10、（3）。

二．

1、提示：

利用初等行变换，简化行列式即得

2、提示：

利用初等行变换，简化行列式，再利用行列式的性