专题一 阿基米德三角形的性质讲课教案Word文档格式.docx

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点。

性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。

性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。

性质7在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。

性质8在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST的垂心在上。

性质9|AF|·

|BF|=|QF|2.

性质10QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。

性质11在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的倍。

高考题中的阿基米德三角形

例1（2005江西卷，理22题）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB.

解：

（1）设切点A、B坐标分别为，

∴切线AP的方程为：

切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为，

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

（2）方法1：

因为

由于P点在抛物线外，则

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：

①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：

即

所以P点到直线BF的距离为：

所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.

②当时，直线AF的方程：

直线BF的方程：

所以P点到直线AF的距离为：

，

同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB

例2（2006全国卷Ⅱ，理21题）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．

（Ⅰ）证明·

为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值．

（Ⅰ）由已知条件，得F（0，1），λ＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．由＝λ，

即得　　（－x1，1－y）＝λ（x2，y2－1），

将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2③

解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，

抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝x1（x－x1）＋y1，y＝x2（x－x2）＋y2，

即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．

解出两条切线的交点M的坐标为（，）＝（，－1）．……4分

所以·

＝（，－2）·

（x2－x1，y2－y1）＝（x22－x12）－2（x22－x12）＝0

为定值，其值为0．　　　……7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝

＝＝＝＋．

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝（＋）2．

于是　　S＝|AB||FM|＝（＋）3，

由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．

例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，

（1）若，求的值；

（5分）

（2）若为线段的中点，求证：

为此抛物线的切线；

（3）试问

（2）的逆命题是否成立？

说明理由。

（4分）

（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以

，即，

所以，即所以

（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。

（3）

（2）的逆命题是成立，由

（2）可知Q，因为PQ轴，所以

因为，所以P为AB的中点。

例4（2008山东卷，理22题）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．

（Ⅰ）求证：

三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；

若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）证明：

由题意设．

由得，得，

所以，．

因此直线的方程为，直线的方程为．

所以，①．②

由①、②得，

因此，即．

所以三点的横坐标成等差数列．

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知，当时，

将其代入①、②并整理得：

，，

所以是方程的两根，

因此，，

又，所以．

由弦长公式得．

又，所以或，

因此所求抛物线方程为或．

（Ⅲ）解：

设，由题意得，

则的中点坐标为，

设直线的方程为，

由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得．

若在抛物线上，则，

因此或．即或．

（1）当时，则，此时，点适合题意．

（2）当，对于，此时，，

又，，所以，

即，矛盾．

对于，因为，此时直线平行于轴，

又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，

所以时，不存在符合题意的点．

综上所述，仅存在一点适合题意．

例5（2008江西卷，理21题）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点（，0）．

（1）过点作直线的垂线，垂足为，试求△的重心所在的曲线方程；

（2）求证：

三点共线．

证明：

（1）设，由已知得到，且，，

设切线的方程为：

由得

从而,

解得

因此的方程为：

同理的方程为：

又在上，所以，

即点都在直线上

又也在直线上,所以三点共线

（2）垂线的方程为：

由得垂足，

设重心

所以解得

由可得即为重心所在曲线方程.