精选人教版数学八年级上册 全等三角形易错题Word版 含答案Word文件下载.docx

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【详解】

解：

（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，

∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°

，

又BD=DC，且∠BDC=120°

∴∠DBC=∠DCB=30°

∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°

+30°

=90°

∴∠MBD=∠ECD=90°

在△MBD与△ECD中，

∵，

∴△MBD≌△ECD（SAS），

∴MD=DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN=60°

∴∠CDE+∠NDC=∠BDM+∠NDC=120°

-60°

=60°

即：

∠MDN=∠NDE=60°

在△DMN与△DEN中，

∴△DMN≌△DEN（SAS），

∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．

（2）如图②中，结论：

MN=NC﹣BM．

理由：

在CA上截取CE=BM．

∵△ABC是正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°

又∵BD=CD，∠BDC=120°

∴∠BCD=∠CBD=30°

∴∠MBD=∠DCE=90°

在△BMD和△CED中

∴△BMD≌△CED（SAS），

∴DM=DE，∠BDM=∠CDE

∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°

在△MDN和△EDN中

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．如图1所示，已知点在上，和都是等腰直角三角形，点为的中点.

（1）求证：

为等腰直角三角形；

（2）将绕点逆时针旋转，如图2所示，

（1）中的“为等腰直角三角形”是否仍然成立？

请说明理由；

（3）将绕点逆时针旋转一定的角度，如图3所示，

（1）中的“为等腰直角三角形”成立吗？

请说明理由.

（1）详见解析；

（2）是，证明详见解析；

（3）成立，证明详见解析.

根据等腰直角三角形的性质得出，，推出，，，推出，，求出即可．

延长ED交AC于F，求出，，，根据ASA推出≌，推出即可．

过点C作，与DM的延长线交于点F，连接BF，推出≌，求出，，作于点N，证≌，推出，，求出，即可得出答案．

证明：

和都是等腰直角三角形，

点M为EC的中点，

，，

，，，

同理，

是等腰直角三角形．

如图2，是等腰直角三角形，

理由是：

延长ED交AC于F，

和是等腰直角三角形，

为EC中点，

在和中

≌，

是等腰直角三角形，

过点C作，与DM的延长线交于点F，连接BF，

可证得≌，

作于点N，

由已知，，

可证得，，

点M是DF的中点，

则是等腰直角三角形，

本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．

3．

（1）如图

（1），已知：

在△ABC中，∠BAC＝90°

，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:

DE=BD+CE.

（2）如图

（2），将

（1）中的条件改为：

在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?

如成立,请你给出证明;

若不成立,请说明理由.

（3）拓展与应用：

如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.

（1）见解析

（2）成立（3）△DEF为等边三角形

（1）证明：

∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900．

∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．

∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．

又AB="

AC"

，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．

∴DE="

AE+AD="

BD+CE．

（2）成立．证明如下：

∵∠BDA=∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=1800—．∴∠DBA=∠CAE．

∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．

∴DE=AE+AD=BD+CE．

（3）△DEF为等边三角形．理由如下：

由

（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．

∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．

∴△DEF为等边三角形．

（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．

（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．

（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA=∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．

4．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F

PC=PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°

时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

（1）证明见解析

（2）90°

（3）AP=CE

（1）、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°

，结合PB=PB得出△ABP≌△CBP，从而得出结论；

（2）、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；

（3）、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°

，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.

（1）、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°

在△ABP和△CBP中，又∵PB=PB∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；

（2）、由

（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°

﹣∠PFC﹣∠PCF=180°

﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°

；

（3）、AP＝CE

在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，

在△ABP和△CBP中，又∵PB=PB∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，

∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°

﹣∠DFE﹣∠E，

即∠CPF=∠EDF=180°

﹣∠ADC=180°

﹣120°

，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE

考点：

三角形全等的证明

5．已知：

平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．

（1）如图1，求证：

OA是第一象限的角平分线；

（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求2HK+EF的值．

（1）证明见解析

（2）答案见解析（3）8

（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,

根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；

（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM与NE交于K，则∠MKN＝180°

﹣2∠ONE＝90°

﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°

（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：

NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．

（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0

∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0

∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0

∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0

∴a＝b＝4

过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM

∴OA平分∠MON

即OA是第一象限的角平分线

（2）过A作