微积分公式手册Word格式文档下载.docx
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平均曲率：
R-T[.）:
•:
从財点到必点，切线斜率的倾角变化量.
的圆:
K
定积分的近似计算:
b
矩形法：
f（X）
a
梯形法:
f（x）
抛物线法：
（y。
Ynj）
yz）4（%y八
定积分应用相关公式:
功:
W=Fs
水压力：
F二p・A
引力:
F二k哼,k为引力系数
r
函数的平均值：
，f（x）dx
均方根：
7_a・f2（t）dt空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离：
dtmjM?
=J（x2_xj2+（y2_yj2+（z2_zj2向量在轴上的投影：
Prju
ABABcos®
半是AB与u轴的夹角。
Prju（aia?
-PrjaiPJa?
ab=abcos&
=axbv+ayby+a2b2,是一个数量
ijk
c=a3
axayaz,c=absinO例：
线速度：
J=bxbybz
代表平行六面体的体积
平面的方程：
1、点法式:
A（x-Xo）B（y一y。
）C（z~zo）=0,其中n二{A,B,C},M°
（x。
y。
，Z。
）
2、一般方程：
AxByCzD=03、截距世方程：
--=1
abc
平面外任意一点到该平面的距离：
d二丄7严期
JaWt
j_x二Xomt
空间直线的方程：
—_二一二一=t,其中s={m,n,p};
参数方程：
：
y=y0+ntmnp
、z二z°
+pt
二次曲面:
1、
椭球
ab2
+z=1c2
22
2、
抛物面:
=z,（p,q同号）
2p2q
3、
双曲面:
222
单叶双曲
X
y
Z胡
双叶双曲
%芯吕
=1（马鞍面）
面・
多元函数微分法及应用
全微分：
dz二一dx+―dydu二
・X：
dx+一dy+一dz
;
x；
y
全微分的近似计算：
:
Z多元瘦合函薮的耒导法：
dz二fx（x,y）.：
xfy（x,y）.
dz
Z：
ll:
z
V
dt
U・：
t
V:
t
；
z?
z
U・z:
V
z=f[u（x,y）,v（x,y）]
UXVX
当u二u（x,y）,v二v（x,y）时，
dudxdy
jr\1.“
dvdxdy
xzy
隐函数的求导公式：
隐函数F（x,y）=0,
dy
厶
歸匸卡+环乍dx
dxFy
隐函数F（x,y,z）=0,
CZFy
xFz
cyFz
cF
隐函数方程组产，
uv）_o
」（F,G）_
貞
dv
Q（x,y
U,v）=0
点（u,v）
cG
ru
cv
U1:
・V1；
（F,G）
—
XJ;
（u,x）
（x,v）
L=1:
微分法在几何上的应用:
FuFv
|Gu
Gv
x二（t）
空间曲线《y「（t）在点Md。
'
y。
z））处的切线方程：
令也二看上二宁直z「（t）
000
在点M处的法平而方程：
，：
（t°
）（x~Xo）（t°
）（y_y°
）
（tc）（z_Zo）=0
若空间曲线方程为：
f（x,打z〃°
则切向量t曲面F（x,y,z）=0±
G（x,y,z）=0一点M（x。
yo,Zo）,则:
FyFzFzFxFx
GyGz6
GxGx
1、过此点的法向量:
n={Fx（x°
yjZo）,Fy（x。
，yj
F
y}
Gy
zo）,Fz（x。
，z。
）}
2、过此点的切平面方程:
Fx（Xo,y。
，Zo）（x-x。
）Fy（Xo,y。
，Zo）（y—y。
）Fz（x。
，y。
）（z-zo）=0
3、过此点的法线方程:
yo
Fx（Xo,y°
Zo）Fy（Xo,y°
Zo）Fz（Xo,y°
Zo）
方向导数与梯度：
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向I的方向导数为:
其中「为X轴到方向I的转角。
函数z二f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）-if
_cos'
sin,clexcy
它与方向导数的关系是二gradf（x,y）e,其中e二cos一:
d
单位向量。
•丄是gradf（x,y）在1上的投影。
cl
多元函数的极值及其求法：
设fx（x-,yo）=fy（Xo,y。
）=0,令:
fxx（Xo,y°
）=A,fxy（x。
，
-si,为I方向上的
）二B,fyy（Xo,y。
）=C'
A
AC-B2>
0时,
则:
AC-BXO时，
ACB2=0时,
<
0,（xo,yo）为极大值
A>
0,（x0,y0）为极小值
无极值
不确定
重积分及其应用：
11f（x,y）dxdy二f（rcos\rsinJrdrd）
DD'
曲面z=f（x,y）的面积力二11+dxdy
d
x〃x,y）d匚平面薄片的重心：
x二匹D
M〃P（x,y）cT
D
平面薄片的转动惯量：
对于X轴lxZly2r（x,y）d；
1对于
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a.）,（a凡★亠叫，d（x2y2a2）2I
Fyf・亠叫,
D/・2.少
・・y'
（x,y）d二
—D_―
”P（x,y）d仃
y轴ly二x2「（x,y）d—
0）的引力:
F-{Fx,Fy,Fz},其中:
庄faJJ仏3
d（/v2a2V
柱而坐标和球而坐标:
x=rCOSTHIf（x,y,z）dxdydz=F（r,v,z）rdrdvdz,QQ
柱面坐标：
y=rsinv,其中：
F（r“，z）=f（rcosjrsinyz）
Z_z・<
I-x=rsincos
球面坐标：
*y=rsin申sinO,dv=rd护rsin申,d日,dr=r2sin川drd川dB
z=rcos®
2兀JT
!
!
f（x,y,z）dxdydz:
ijjF（r,Dr2sindrdd'
•d[d「F（r,」[r'
sindr
000
重心：
二丄iiixSv,
y二丄iiiySv,
z二丄iiiz^dv,
其中M=x：
Hidv
M三
M&
MQ
Q
转动惯量：
Ix—（y2
Z2）rdv,Iy-G
2z2）rdv,I:
—（x2y2）rdv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分八
设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：
丿X”％）,P）,则:
』刖（t）
P
f（x,y）ds二f[r（t）r（t）]r2（t）2（t）dt（:
1）特殊情况：
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）:
•{P[「（t）「（t）]「（t）Q[
设L的参数方程为丿x=®
（t）,贝IJ：
片屮⑴
P（x,y）dxQ（x,y）dy
L
两类曲线积分之间的关系：
Pdx•Qdy二（PCOSHgeosJds其中：
•和］分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
P
格林公式：
I1
（一）dxdy二
dEx点'
当P二-y,Q二x,即：
卫-兰=2时，得到D的面积：
A二dxdy二丄•xdy-ydx泳纲d2l平面上曲线积分与路径无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
2、P（x,y）,Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，且」二-Po注意奇点，女1：
1（0,0）,应孜cy
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
二元函数的全微分求积：
Q:
P在一二一时，pdxQdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中：
・xzy
（X,y）
u（x,y）二P（x,y）dxQ（x,y）dy,通常设x。
二y。
二Co
（勺必）
曲面积分：
对面积的曲面积分：
f（x,y,z）ds=[ff[x,y,z（x,y）]{l+z；
（x,y）+z：
（x,y）dxdyiD对坐标的曲面积分:
IIP（X,y,z）dydzQ（x,y,z）dzdxR（x,y,z）dxdy,其中：
R（x,y,z）dxdy二R[x,y,z（x,y）]dxdy,取曲面的上侧时取正号；
丈Dx-/
..P（x,y,z）dydz一.P[x（y,z）,y,zjdyd乙取曲面的前侧时取正号；
士5
.Q（x,y,z）dzdx二Q[x,y（z,x）,zjdzdx取曲面的右侧时取正号。
壬加
两类曲面积分之间的关系：
PdydzQdzdxRdxdy二（Pcos：
Qcos：
Rcos）ds
zz
高斯公式:
-p：
Q.：
R
Qcos:
Rcos）ds
11i（）dv二PdydzQdzdxRdxdy二（Pcos
「討厂<
高斯公式的物理意义
通量与散度:
散度:
div.二兰•卫•一,即:
dx£
单位体积内所产生
cz
的流体质量，
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