初中几何常考模型汇总完整版Word文件下载.docx

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飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M。

探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系。

1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=；

2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=。

模型3边的“8”字模型

如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC。

AC+BD>

AD+BC。

如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。

求证：

（1）AB+BC+CD+AD>

AC+BD；

（2）AB+BC+CD+AD<

2AC+2BD.

模型4边的飞镖模型

如图所示有结论：

AB+AC>

BD+CD。

如图，点O为三角形内部一点。

求证：

（1）2（AO+BO+CO）>

AB+BC+AC；

（2）AB+BC+AC>

AO+BO+CO.

1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。

AD+AE。

2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。

（1）如图①，△ABC中，P为边BC上一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由；

（2）如图②，将

（1）中的点P移至△ABC内，请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由；

（3）图③将

（2）中的点P变为P1、P2，请比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由。

第02讲角平分线四大模型

模型1角平分线上的点向两边作垂线

如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。

PB=PA。

利用角平分线的性质：

角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°

，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是；

（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4.求证：

AP平分∠BAC.

1．如图，在四边形ABCD中，BC>

AB，AD=DC，BD平分∠ABC。

∠BAD+∠BCD=180°

。

2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°

，则∠CAP=。

模型2截取构造对称全等

如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON

上截取OB=OA，连接PB。

△OPB≌△OPA。

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；

（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC−PB与AC−AB的大小，并说明理由。

1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8.求线段BC的长.

2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°

，BD平分∠ABC.求证：

BC=AB+CD.

3．如图所示，在△ABC中，∠A=100°

，∠A=40°

，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，DE=AD.求证：

BC=AB+CE.

模型3角平分线+垂线构造等腰三角形

如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B.

△AOB是等腰三角形。

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°

，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E.求证：

BD=2CE.

1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：

∠2=∠1+∠C.

2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E.求证：

BE=（AC−AB）.

模型4角平分线+平行线

如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q.

△POQ是等腰三角形.

有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系.

解答下列问题：

（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；

（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？

并说明理由.

（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？

1．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，

交AB于点M，交AC于点N。

若BM+CN=9，则线段MN的长为.

2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E、F分别在BD、AD上，EF∥AB，且DE=CD.求证：

EF=AC.

3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC.

AD=AB−BC.

第03讲截长补短

模型截长补短

如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在

EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。

截长法：

如图②，在EF上截取EG=AB，再证明

GF=CD即可。

补短法：

如图③，延长AB至H点，使BH=CD，

再证明AH=EF即可。

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；

补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。

例1．如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D.求证：

AB=AC+CD.

例2．如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A=∠GBD.求证：

AO+BO=2CO.

1．如图，在△ABC中，∠BAC=60°

，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD.求∠ABC的度数.

2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°

，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证：

AC=AE+CD.

3．如图，∠ABC+∠BCD=180°

，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD.求证：

AB+CD=BC.

4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°

，AD平分∠BAC交BC于点D，∠C=30°

，BE⊥AD于点E.求证：

AC−AB=2BE.

5．如图，Rt△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E.

AD=2DF+CE.

6．如图，五边形ABCDE中，AB=AC，BC+DE=CD，∠B+∠E=180°

.求证：

AD平分∠CDE.

第04讲手拉手模型

模型手拉手

如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，

∠BAC=∠DAE=。

△BAD≌△CAE。

手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。

例1．如图，△ADC与△EDC都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问：

（1）AG与CE是否相等？

（2）AG与CE之间的夹角为多少度？

例2．如图，直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE、CD，二者交点为H。

（1）△ABE≌△DBC；

（2）AE=DC；

（3）∠DHA=60°

；

（4）△AGB≌△DFB；

（5）△EGB≌△CFB；

（6）连接GF，GF∥AC；

（7）连接HB，HB平分∠AHC。

1．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°

，F为AB延长线上一点，点E在

BC上，且AE=CF.

（1）求证：

BE=BF；

（2）若∠CAE=30°

，求∠ACF度数.

2．如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点H．证明：

（1）AE=DC；

（2）∠AHD=60°

（3）连接HB，HB平分∠AHC.

3．在线段AE同侧作等边△CDE（∠ACE<

120°

），点P与点M分别是线段BE

和AD的中点.

△CPM是等边三角形.

4．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图①方式放置，∠A=90°

，AD边与AB边重合，AB=2AD=4.将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度（0°

<

>

180°

），BD的延长线交CE于P.

（1）如图②，证明：

BD=CE，BD⊥CE；

（2）如图③，在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出CP的长.

第05讲三垂直全等模型

模型三垂直全等模型

如图，∠D=∠BCA=∠E=90°

，BC=AC。

Rt△BCD≌Rt△CAE。

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.

例1．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE=DE.求证：

例2．如图，∠ACB-90°

，AC=BC，BE⊥CE于点D，AD=2.5cm，BE=0.8cm.求DE的长.

例3．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标。

1．如图，正方形ABCD，BE=CF.求证：

（1）AE=BF；

（2）AE⊥BF.

2．直线上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别是5和11，则b的面积是。

3．已知，△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC