线性代数自考题分类模拟7Word下载.docx

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[解答]

所以a=-1，b=-2．答案为A．

3.设

则β=______时，β是α1与α2的线性组合．

[解答]由线性组合定义可知．答案为A．

4.如果向量β可由向量组α1，α2，…，αs，线性表示，则

A.存在不全为零的k1，k2，…，ks使得β=k1α1+…+ksαs

B.存在全不为零的k1，k2，…，ks使得β=k1α1+…+ksαs

C.存在唯一组数k1，k2，…，ks，使得β=k1α2+…+ksαs

D.向量组β，α1，α2，…，αs线性相关

[解答]由线性相关定义可知．答案为D．

5.设向量组α1=（1，2），α2=（0，2），β=（4，2），则

A.α1，α2，β线性无关

B.β不能由α1，α2线性表示

C.β可由α1，α2线性表示，但表示法不惟一

D.β可由α1，α2线性表示，且表示法惟一

[解答]假设存在k1、k2，使得kα1+kα2=β，解这个方程：

此矩阵R=2，所以此方程组只有惟一解．即β可由α1、α2线性表示，且表示法惟一．答案为D．

6.对于向量组α1，α2，…，αr，因为有0α1+0α2+…+0αr=0，则α1，α2，…，αr，是______向量组．

A.全为零向量

B.线性相关

C.线性无关

D.任意

[解答]A和C显然不对，在向量线性相关的定义中，要求是不全为零的数，而现在所有的数全为零，任意一个向量组中的向量每个乘以零再求和永远等于零向量，因此无法判断这组向量是否线性相关，故应选D．答案为D．

7.下列向量线性相关的是

A.（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）

B.（2，1，0），（-1，3，1），（5，2，1）

C.（7，4，1），（-2，1，2），（3，6，5）

D.（-1，3，8），（-2，0，5），（2，1，9）

C

[解答]将各向量组拼成矩阵计算它们的秩，通过计算知C组向量的秩等于2，而其他各组的秩均为3，因此C组向量线性相关．答案为C．

8.设α1=（2，1，0），α2=（0，0，0），则

A.α2线性无关

B.α1线性无关

C.α1，α2线性无关

D.α1线性相关

B

[解答]∵任意一个含零向量的向量组必为线性相关组，∴α1，α2线性相关．单个向量α线性相关

α=0．单个向量α线性无关

α≠0．答案为B．

9.设α=（1，2，4），β=（0，1，3），是为任意实数，则

A.α-β线性相关

B.α+β线性相关

C.kα线性无关

D.α-β线性无关

[解答]∵单个非零向量线性无关，∴α-β，α+β都线性无关，当k=0时kα线性相关．当k≠0时，kα线性无关．答案为D．

10.若向量α与β线性相关，则

A.其中必有一个零向量

B.α=kβ，k为非零常数

C.α与β的对应分量成比例

D.α与β均为非零向量

[解答]当α为零向量而β为非零向量时，B中等式不成立，仅有C一定成立．答案为C．

11.设向量α1，α2线性相关且β1=α1+2α2，β2=2α1-α2，则β1与β2

A.线性相关

B.线性无关

C.对应分量成比例

D.满足β1=kβ2

[解答]由α1，α2线性相关，故存在不全为0的k1，k2，使k1α1+k2α2=0，又设x1β1+x2β2=x1（α12α2）+x2（2α2-α1）=（x1+2x2）a1+（2x1-x2）α2=0，

所以有惟一解，而x1，x2不全为0，所以β1，β2线性相关．答案为A．

12.向量组α1，α2和向量组α2，α3均线性无关，则向量组α1，α2，α3

A.一定线性相关

B.一定线性无关

C.不能由α1，α3线性表示

D.既可以线性相关也可以线性无关

[解答]设

则α1，α2线性无关，α2，α3线性无关，但α1，α2，α3线性相关；

又设k1a1+k2a2+k3a3=0

即k1=k2=k3=0，x1=x2=x3=0

则向量组a1，a2，a3线性无关．答案为D．

13.已知α1，α2，…，αn线性无关，则

A.α1+α2，α2+α3，…，αn-1+αn，αn+α1必线性无关

B.若n为奇数时，则必有α1+α2，α2+α3，…，αn-1+αn，αn+α1线性相关

C.若n为偶数时，则必有α1+α2，α2+α3，…，αn-1+αn，αn+α1线性相关

D.以上都不对

[解答]若n为奇数，令n=3，设存在一组数k1，k2，k3使k1（α1+α2）+k2（α2+α3）+k3（α3+α1）=0

整理得（k1+k3）α1+（k1+k2）α2+（k2+k3）α3=0

已知α1，α2，α3线性无关，故k1+k3=k1+k2=k2+k3=0

解得k1=k2=k3=0．

α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关，排除选项B．

同理可知，当n为偶数时，α1+α2，α2+α3，…，αn-1+αn，αn+α1线性相关．答案为C．

14.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下面向量组中线性无关的是

A.α1+α2，α2+α3，α3-α1

B.α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3

C.α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1

D.α1+α2+α3，2α1-3α2+22α3，3α1+5α2-5α3

[解答]（A）由于（α1+α2）-（α2+α3）+（α3-α1）=0，所以该向量组线性相关．

（B）由于（α1+α2）+（α2+α3）=α1+2α2+α3，所以该向量组线性相关．

（C）令k1（α1+2α2）+k2（2α2+3α3）+k3（3α3+α1）=0，

由向量组α1，α2，α3线性无关，故

故该向量组线性无关．

（D）令β=α1+α2+α3，β=2α1-3α2+22α3，β3=3α1+5α2-5α3，有

所以该向量组线性相关．答案为C．

15.设A是m×

n矩阵，则齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是

A.A的行向量线性相关

B.A的行向量线性无关

C.A的列向量线性相关

D.A的列向量线性无关

[解答]设A=（α1，α2，…，αn），其中α1，α2，…，αn为A的n个列向量，如果AX=0有非零解，则存在不全为0的x1，x2，…，xn使

即x1α1+x2α2+…+xnαn=0

所以α1α2，…，αn线性相关，反之，α1，…，αn线性相关，则存在不全为0的实数k1，k2，…，kn使k1α1+k2α2+…+knαn，因此令

则AX=0，即

是AX=0的非零解．答案为C．

16.设A是n阶方阵且|A|=0，则下列命题成立的是

A.A中必有某一行向量为零向量

B.A中每一行向量可以由其余行向量线性表示

C.A中存在一行向量可以由其余行向量线性表示

D.A中每一行向量都不能由其余行向量线性表示

[解答]由于|A|=0，因此r（A）＜n，A的行向量组线性相关，所以存在一个行向量，它是其余行向量的线性组合．答案为C．

17.设A是m×

n矩阵，则方程组AX=0只有零解的充要条件是A的

A.列向量组线性无关

B.列向量组线性相关

C.行向量组线性无关

D.行向量组线性相关

α1=（a11，a21，…，am1），

α2=（a12，a22，…，am2），

…

αn=（a1n，a2n，…，amn）．

x1α1+x2α2+…+xnαn=（x1a11，x1a21，…，x1am1）+（x2a12，x2a22，…，x2am2）+…+（xna1n，xna2n，…，xnamn）

=（x1a11+x2a12+…+xna1n，x1a21+x2a22+…+xna2n，…，x1am1+x2am2+…+xnamn）

=（0，0…，0）．

∵只有零解，∴α1，α2，…，αn线性无关．答案为A．

18.α1=（1，2，3），α2=（2，1，3），α3=（-1，1，0），α4=（1，1，1），则

A.α1线性相关

B.α1，α2线性相关

C.α1，α2，α3线性相关

D.α1，α2，α4线性相关

[解答]单个非零向量是线性无关的，∴选项A不对．而

因为含有零向量的向量组一定线性相关，所以C是正确．答案为C．

19.设n阶方阵A的行列式|A|=0，则

A.A中至少有一行是其余行的线性组合

B.A中每一行是其余行的线性组合

C.A中存在一行元素全为零

[解答]由于|A|=0，所以A的行秩小于A的行向量个数，即A的行向量线性相关，因此存在一个行向量是其余行向量的线性组合．答案为A．

20.设A为n阶矩阵，|A|≠0，则

A.A是正定矩阵

B.秩（A）＜n

C.A有两列对应元素成比例

D.A中任一行均不能由其余各行线性表出

[解答]|A|≠0，∴r（A）=n．从而A的行向量组线性无关．因此A中任一行均不能由其余各行线性表出．答案为D．

21.设A是n阶矩阵，若|A|=0，则必有

A.A为零矩阵

B.A中任何一行向量均可由其余行向量线性表出

C.秩（A）=n

D.A中至少有一行可由其余行向量线性表出

[解答]考查矩阵的秩与矩阵行列式的关系以及矩阵的秩与矩阵行（列）向量组的秩的关系．因为|A|=0，所以秩（A）＜n，因此A的行向量组的秩也小于n（矩阵的行（列）向量组的秩等于该矩阵的秩），即A的行向量纽线性相关，所以A中至少有一行可由其余行向量线性表示．答案为D．

22.m＞n是n维向量组α1，α2，…，αm线性相关的______条件．

A.充分

B.必要

C.充分必要

D.必要而不充分的

[解答]因为m＞n，所以α1，α2，…，αm线性相关，线性相关不一定m＞n．答案为A．

23.若α1=（1，0，1），α2=（1，-1，1），α3=（1，t，0）线性无关，则必有

A.t=1

B.t≠1

C.t≠0

D.t为任意实数

[解答]三个三维向量线性无关的充分必要条件是以这三个向量为行（或列）而成的行列式不为0．

因为

对任意t都成立，故当t为任意实数时，α1，α2，α3都线性无关．答案为D．

24.一个n维向量组α1，α2，…，αs（s＞1）线性相关的充要条件是其中

A.含有零向量

B.有两个向量的对应分量成比例

C.至少有一个向量是其余向量的线性组合

D.每一个向量是其余向量的线性组合

[解答]将α1，α2，…，