苏教版八年级上册中考压轴题数学组卷Word格式.docx

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2．（2005•内江）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．

3．（2004•青海）

（1）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D，求证：

OC=OD；

（2）已知，点A和B．求作：

经过A、B两点且半径最小的圆．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹不写作法）

4．（2006•河北）探索：

在如图1至图3中，△ABC的面积为a．

（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=　_________　（用含a的代数式表示）；

（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=　_________　（用含a的代数式表示），并写出理由；

（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=　_________　（用含a的代数式表示）．

发现：

像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的　_________　倍．

应用：

去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？

6．（2007•绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：

如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°

，∠B与∠D互补，求证：

AB+AD=

AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．

（1）特殊情况入手添加条件：

“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=

AC；

（请你完成此证明）

（2）解决原来问题受到

（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：

如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）

7．（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．

定义：

到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．

举例：

如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．

如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=

AB，求∠APB的度数．

探究：

已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．

8．（2008•温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：

文文：

“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；

彬彬：

“作△ABC的角平分线AD”．

数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：

“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”

（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；

（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．

9．（2008•宁德）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）求证：

CE=CF；

（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°

，则GE=BE+GD成立吗？

为什么？

（3）运用

（1）

（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°

，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°

，BE=4，求DE的长．

10．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD=30°

时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？

如果不变，求出线段ED的长；

如果变化请说明理由．

11．（2010•永州）探究问题：

（1）阅读理解：

①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；

②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA=AC•BD．此为托勒密定理；

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的

上任意一点．求证：

PB+PC=PA；

②根据

（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°

）的费马点和费马距离的方法：

第一步：

如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；

第二步：

在

上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+　_________　；

第三步：

请你根据

（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段　_________　的长度即为△ABC的费马距离．

（3）知识应用：

20XX年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．

已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°

），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．

12．（1998•海淀区）已知：

如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，∠A=30°

，∠B=45°

，AC=4．

求CD和AB的长．

13．（2005•海淀区）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．

（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？

简述理由，并求出面积的最大值．

14．（2009•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．

求证：

EC∥AB．

15．（2012•枣庄）已知：

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°

，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．

AB=BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：

BE=AE+CD．

16．（2010•孝感）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明．著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．

请根据图1中直接三角形叙述勾股定理．

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；

利用图2中的直角梯形，我们可以证明

＜

．其证明步骤如下：

∵BC=a+b，AD=　_________　；

又∵在直角梯形ABCD中有BC　_________　AD（填大小关系），即　_________　．

∴

．

17．（2010•东莞）如图

（1），

（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？

当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？

求此时MN的值．

18．（2009•永州）问题探究：

（1）如图①所示是一个半径为

，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：

将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）；

（2）如图②所示是一个底面半径为

，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；

（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．

19．（2009•佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；

（3）求点B1到最短路径的距离．

20．（2007•衢州）请阅读下列材料：

问题：

如图

（1），一圆柱的底面半径、高均为5cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：

路线1：

侧面展开图中的线段AC．如下图

（2）所示：

设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+

2=52+（5π）2=25+25π2

路线2：

高线AB+底面直径BC．如上图

（1）所示：

设路线2的长度为l2，则l22=（AB+BC）2=（5+10）2=225

l12﹣l22=25+25π2﹣225=25π2﹣200=25（π2﹣8）＞0

∴l12＞l22，∴l1＞l2

所以要选择路线2较短．

（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：

“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：

l12=AC2=　_________　；

l22=（AB+BC）2=　_________　

∵l12　_________　l22，

∴l1　_________　l2（填＞或＜）

∴选择路线　_________　（填1或2）较短．

（2）请你帮小明继